Thèse Année : 2023

Influence of Robin’s conditions on the spectrum of the magnetic Laplacian

Influence des conditions de Robin sur le spectre du Laplacien magnétique

Rayan Fahs
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1318561
  • IdRef : 27305855X

Résumé

This thesis concerns the spectral study in the semiclassical regime of the Schrödinger operator in the presence of a magnetic field on a bounded and regular domain with the Robin condition at the boundary. The aim is to describe the influence of the Robin conditions on the magnetic spectrum when the semiclassical parameter tends to zero and when the magnetic field plays an important role in competition with the Robin condition. The precise description of the eigenpairs requires an understanding of effective operators.In the first part, when the magnetic field is of moderate intensity and in the strong coupling limit, we show that the eigenvalues of the Robin Laplacian are well approximated by those of a 1D periodic Schrödinger operator on the boundary. When the curvature has a unique maximum that is not degenerate, we estimate the spectral gap between successive eigenvalues. In the case of the disk, we explicitly display the contribution of the magnetic field to the first eigenvalue. In the second part, we study the Stark effect in any dimension. We consider the Laplace operator with a strong and uniform electric field and Dirichlet conditions at the boundary of a bounded and regular domain. In the limit of the strong electric field, under certain local convexity conditions, we derive an asymptotic expansion of the low-lying eigenvalues at any order and also study the localization of the ground states.In the third part, when the magnetic field is stronger, and in the semiclassical limit, we establish a uniform description of the spectrum between the Landau levels, of the magnetic Robin Laplacian including the Neumann and Dirichlet Laplacians, using the Grushin method and microlocal analysis tools. We also investigate the localization properties of the ground states. The estimates look like Agmon's estimates, but they are not obtained via variational methods, as is the case in many magnetic settings.
Cette thèse concerne l'étude spectrale dans le régime semi-classique de l'opérateur de Schrödinger en présence d'un champ magnétique sur un domaine borné et régulier avec condition de Robin au bord. L'objectif est de décrire l'influence des conditions de Robin sur le spectre magnétique lorsque le paramètre semi-classique tend vers zéro et lorsque le champ magnétique joue un rôle majeur en concurrence avec la condition de Robin. La description précise des éléments propres passe par la compréhension de différents opérateurs modèles. Dans la première partie, lorsque le champ magnétique est d'intensité modérée et dans la limite du couplage fort, on montre que les valeurs propres du Laplacien de Robin sont bien approchées par celles d'un opérateur de Schrödinger périodique 1D sur la frontière. Lorsque la courbure a un unique maximum non dégénéré, on estime l'écart spectral entre les valeurs propres successives. Dans le cas du disque, on révèle explicitement la contribution du champ magnétique sur la première valeur propre. Dans la deuxième partie, on étudie l'effet de Stark en toutes les dimensions. On considère l'opérateur de Laplace avec un champ électrique fort et uniforme et des conditions de Dirichlet sur le bord d'un domaine borné et régulier. Dans la limite du champ électrique fort, on dérive, sous certaines conditions de convexité locale, une description précise des valeurs propres et des fonctions propres associées. Dans la troisième partie, lorsque le champ magnétique est plus intense, et dans la limite semi-classique, en utilisant la méthode de Grushin et les outils d'analyse microlocale, on établit une description uniforme du spectre du Laplacien magnétique de Robin situé entre les niveaux de Landau, incluant les Laplaciens de Neumann et Dirichlet. De plus, on examine les propriétés de localisation des états fondamentaux. Les estimations ressemblent à celles d'Agmon, mais elles ne sont pas obtenues par des moyens variationnels comme c'est le cas dans de nombreux contextes magnétiques.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04316534 , version 1 (30-11-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04316534 , version 1

Citer

Rayan Fahs. Influence des conditions de Robin sur le spectre du Laplacien magnétique. Mathématiques générales [math.GM]. Université d'Angers, 2023. Français. ⟨NNT : 2023ANGE0015⟩. ⟨tel-04316534⟩
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