Preconditioning strategies for stochastic elliptic partial differential equations - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2023

Preconditioning strategies for stochastic elliptic partial differential equations

Stratégies de préconditionnement pour équations stochastiques elliptiques aux dérivées partielles

Abstract

We are interested in the Monte Carlo (MC) sampling of discretized elliptic partial differential equations (PDEs) with random variable coefficients. The dominant computational load of such applications consists of solving large numbers of linear systems with variable matrix and right-hand side. As a means to alleviate this effort, we review, develop, implement and analyze efficient and scalable methodologies for stochastic elliptic PDEs that make use of appropriate combinations of iterative solvers and preconditioners. Three preconditioning strategies are developed and investigated. First, state-of-the-art parallel preconditioners are kept constant and used to solve all the sampled linear systems of MC simulations. This straightforward strategy serves as a point of comparison for the two other methods to improve upon. Second, preconditioners based on the deflation of correlated linear systems are defined while sampling the random coefficient field by Markov chain Monte Carlo. Different projections and restarting methods of the eigen-search space are considered for the online approximation of spectral information. As opposed to harmonic Rayleigh-Ritz projections, Rayleigh-Ritz projections are shown to avoid preconditioner applications when recycling the Krylov subspaces so that they should be favored for a better performance. Both the thick-restart and even more so the locally optimal thick-restart restarting of the eigen-search space lead to significant decreases of the number of solver iterations, particularly for larger linear systems. The preconditioning strategy based on deflation, which is adapted for Bayesian inference, works particularly well when using preconditoners whose action results in well-separated eigenvalues at the extremities of the spectrum. This is the case of block Jacobi preconditioners as well as preconditioners based on domain decomposition, but not when preconditioning with algebraic multigrids in the case of isotropic equations. Third, we partition the latent stochastic space of the random coefficient field into Voronoi cells, each of which is represented by a centroidal coefficient field on the basis of which a distinct preconditioner is defined which is used to solve the sampled linear systems whose corresponding coefficient fields lie within the cell. As such, we adopt a compact representation of the random coefficient field referred to as a Voronoi quantizer. We consider different distributions of centroidal coefficient fields, and we investigate the properties of the underlying preconditioning strategies in terms of expected number of solver iterations for sequential simulations, and of load balancing for parallel simulations. One distribution in particular, which minimizes the average distance between the coefficient field and its compact representation, minimizes the expected number of solver iterations. This distribution yields the smallest number of expected number of solver iterations so that it is particularly adapted for sequential simulations. Another distribution is considered which leads to equal attribution frequencies for all the cells, i.e., approximately the same number of linear systems is solved with each preconditioner of the quantizer. Our experiments show that this strategy yields a smaller spread of the expected number of solver iterations among the preconditioners so that it is more adapted for parallel simulations. Finally, a distribution based on deterministic grids with a stochastic dimension which increases with the number of preconditioners is proposed. This last distribution allows to bypass preliminary computations necessary to determine the optimal dimension of the approximating stochastic space for a given number of preconditioners.
Nous nous intéressons à l'échantillonnage de Monte Carlo (MC) d'équations aux dérivées partielles (EDPs) elliptiques discrétisées à coefficients variables aléatoires. La charge de calcul dominante de ces applications consiste à résoudre un grand nombre de systèmes linéaires à matrice et second membre variables. Afin d'alléger cet effort, nous examinons, développons, implémentons et analysons des méthodologies efficaces et scalables pour les EDPs elliptiques stochastiques qui utilisent des combinaisons appropriées de solveurs itératifs et de préconditionneurs. Trois stratégies de préconditionnement sont développées et étudiées. Tout d'abord, des préconditionneurs parallèles usuels sont maintenus constants et utilisés pour résoudre tous les systèmes linéaires échantillonnés des simulations MC. Cette stratégie sert de point de comparaison pour les deux autres méthodes. Deuxièmement, des préconditionneurs basés sur la déflation de systèmes linéaires corrélés sont définis tout en échantillonnant le champ du coefficient aléatoire par méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov. Différentes projections et méthodes de redémarrage de l'espace de recherche propre sont considérées pour l'approximation de l'information spectrale. Contrairement aux projections harmoniques de Rayleigh-Ritz, les projections de Rayleigh-Ritz évitent les applications de préconditionneur lors du recyclage des sous-espaces de Krylov, de sorte qu'elles doivent être privilégiées pour une meilleure performance. Le redémarrage épais et plus encore le redémarrage épais localement optimal de l'espace de recherche propre conduisent à des diminutions significatives du nombre d'itérations, en particulier pour les systèmes linéaires plus grands. La stratégie de préconditionnement basée sur la déflation, adaptée à l'inférence bayésienne, fonctionne particulièrement bien lors de l'utilisation de préconditionneurs dont l'action se traduit par des valeurs propres bien séparées aux extrémités du spectre. C'est le cas des préconditionneurs de Jacobi par blocs ainsi que des préconditionneurs basés sur la décomposition de domaine, mais pas du préconditionnement avec des multigrilles algébriques pour des équations isotropes. Troisièmement, nous partitionnons l'espace stochastique latent du champ du coefficient aléatoire en cellules de Voronoï, dont chacune est représentée par un champ du coefficient centroïdal sur la base duquel un préconditionneur est défini qui est utilisé pour résoudre les systèmes linéaires échantillonnés dont les champs du coefficient correspondants sont à l'intérieur de la cellule. Nous adoptons donc une représentation compacte du champ du coefficient aléatoire appelée quantifieur de Voronoï. Nous considérons différentes distributions de champs du coefficient centroïdaux et nous étudions les propriétés des stratégies de préconditionnement sous-jacentes en termes de nombre d'itérations moyen pour les simulations séquentielles et d'équilibrage de charge pour les simulations parallèles. Une distribution en particulier, qui minimise la distance moyenne entre le champ du coefficient et sa représentation compacte, minimise le nombre moyen d'itérations. Cette distribution est particulièrement adaptée aux simulations séquentielles. Une autre distribution est considérée qui conduit à des fréquences d'attribution égales pour les cellules, si bien qu'un même nombre de systèmes linéaires est résolu avec chaque préconditionneur du quantifieur. Cette stratégie réduit la répartition du nombre moyen d'itérations parmi les préconditionneurs, de sorte qu'elle est plus adaptée aux simulations parallèles. Enfin, une distribution basée sur des grilles déterministes avec une dimension stochastique qui augmente avec le nombre de préconditionneurs est proposée. Cette dernière distribution permet de s'affranchir des calculs préliminaires nécessaires pour déterminer la dimension optimale de l'espace stochastique approximatif pour un nombre donné de préconditionneurs.
Fichier principal
Vignette du fichier
VENKOVIC_NICOLAS_2023.pdf (12.49 Mo) Télécharger le fichier
Origin : Version validated by the jury (STAR)

Dates and versions

tel-04329556 , version 1 (07-12-2023)

Identifiers

  • HAL Id : tel-04329556 , version 1

Cite

Nicolas Venkovic. Preconditioning strategies for stochastic elliptic partial differential equations. Other [cs.OH]. Université de Bordeaux, 2023. English. ⟨NNT : 2023BORD0209⟩. ⟨tel-04329556⟩
46 View
23 Download

Share

Gmail Facebook X LinkedIn More