Algorithmic aspects of the continuous random energy model
Aspects algorithmiques du modèle continu à énergie aléatoire
Résumé
This thesis explores the algorithmic perspectives of the branching random walk and the continuous random energy model (CREM). Namely, we are interested in constructing polynomial-time algorithms that can sample the model's Gibbs measure with high probability, and to indentify the hardness regime, which consists of any inverse temperature bêta such that such polynomial-time algorithms do not exist. In Chapter 1, we provide a historical overview of the models and motivate the algorithmic problems under investigation. We also provide an overview on the mean-field spin glasses that motivates the line of our research. In Chapter 2, we address the sampling problem of the Gibbs measure in the context of branching random walk. We identify a critical inverse temperature bêta_c, identical to the static critical point, that the a hardness transition occurs. In the subcritical regime bêta < bêta_c, we establish a recursive sampling algorithm is able to sample the Gibbs measure efficiently. In the supercritical regime bêta > bêta_c,we show that we cannot find polynomial-time algorithm that belongs to a certain class of algorithms. In Chapter 3, we turn our attention to the same sampling problem for the con¬tinuous random energy model (CREM). For the case where the covariance function of this model is concave, we show that for any inverse temperature bêta < to infinity, the recursive sampling algorithm considered in Chapter 2 is able to sample the Gibbs measure efficiently. For the non-concave case, we identify a critical point bêta_G that similar hardness transition as the one in Chapter 2 occurs. We also provide a lower bound of the CREM free energy that might be of independent interest. In Chapter 4, we study the negative moment of the CREM partition function. While this is not connected directly to the main theme of the thesis, it spins off during the course of research. In Chapter 5, we provide an outlook of some further directions that might be interesting to investigate.
Cette thèse explore les perspectives algorithmiques de la marche aléatoire branchante et du modèle continu d'énergie aléatoire (CREM). Nous nous intéressons notamment à la construction d'algorithmes en temps polynomial capables d'échan¬tillonner la mesure de Gibbs du modèle avec une grande probabilité, et à identifier le régime de dureté, qui consiste en toute température inverse bêta telle que de tels algorithmes en temps polynomial n'existent pas. Dans le Chapitre 1, nous fournissons un aperçu historique des modèles et moti¬vons les problèmes algorithmiques étudiés. Nous donnons également un aperçu des verres de spin à champ moyen qui motive la ligne de notre recherche. Dans le Chapitre 2, nous abordons le problème de l'échantillonnage de la mesure de Gibbs dans le contexte de la marche aléatoire branchante. Nous identifions une température inverse critique bêta_c, identique au point critique statique, où une tran¬sition de dureté se produit. Dans le régime sous-critique bêta < bêta_c, nous établissons qu'un algorithme d'échantillonnage récursif est capable d'échantillonner efficace¬ment la mesure de Gibbs. Dans le régime supercritique bêta > bêta_c, nous montrons que nous ne pouvons pas trouver d'algorithme en temps polynomial qui appartienne à une certaine classe d'algorithmes. Dans le Chapitre 3, nous portons notre attention sur le même problème d'échan¬tillonnage pour le modèle continu d'énergie aléatoire (CREM). Dans le cas où la fonction de covariance de ce modèle est concave, nous montrons que pour toute température inverse bêta < à l'infini, l'algorithme d'échantillonnage récursif considéré au Chapitre 2 est capable d'échantillonner efficacement la mesure de Gibbs. Pour le cas non concave, nous identifions un point critique bêta_G où une transition de dureté similaire à celle du Chapitre 2 se produit. Nous fournissons également une borne inférieure de l'énergie libre du CREM qui pourrait être d'un intérêt indépendant. Dans le Chapitre 4, nous étudions le moment négatif de la fonction de partition du CREM. Bien que cela ne soit pas directement lié au thème principal de la thèse, cela découle du cours de la recherche. Dans le Chapitre 5, nous donnons un aperçu de certaines orientations futures qui pourraient être intéressantes à étudier.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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