Study of the resolvent for the perturbed Schrödinger operator
Étude de la résolvante pour l'opérateur de Schrödinger perturbé
Résumé
In this thesis we study spectral properties of the Schrödinger operator on non compact domains equipped with Riemannian metrics. More precisely, we are interested in the asymptotic behavior of the resolvent on the boundary of the resolvent set, in different frequency regimes. The first part of our analysis it is aimed at extending to the Riemannian framework results which are known in the Euclidean case. We start by treating the low frequency regime in the case of asymptotically conical manifolds. We prove the existence of the limiting resolvents and of its powers for a Schrödinger operator with potential. Notably, this result allows to recover the local energy decay of the low frequency part of solutions to the Schrödinger, wave and Klein-Gordon equations. From the point of view of technique, we employ Mourre theory to prove the limiting absorption principle, which requires an adapted pseudodifferential calculus in order to treat operators depending on the spectral parameter. Next, we treat the high frequency regime, in a more general framework with respect to the previous one. On the one hand we consider a class of manifolds including not only the asymptotically conical case, but also the asymptotically hyperbolic one. On the other hand, we treat order one perturbations of the Schrödinger operator with potential. Under these assumptions, we obtain an optimal estimate for the resolvent on the non compact part of the manifold: it is bounded by the inverse square root of the spectral parameter. Moreover, these estimates are obtained using Besov type norms, making it possible to consider stronger topologies than what is often used in the literature. To conclude, we treat the compact region via Carleman estimates. In the last chapter, we consider the Schrödinger operator on the Euclidean space in dimensions three and four and with a potential lying in a Lorentz space. More precisely, we study the nature of the frequency zero as well as the decaying properties of the associated states. We prove that any resonant state belonging to the homogeneous Sobolev space of order one is also in a weak Lebesgue space. Under classical assumptions of orthogonality between the resonant state and the potential, we obtain L^2, L^{1, infinity} and finally L^1 integrability of the resonant state.
Dans cette thèse, nous étudions les propriétés spectrales de l'opérateur de Schrödinger sur des domaines non bornés munis de métriques riemanniennes. On s'intéresse plus particulièrement au comportement asymptotique de sa résolvante au bord de l'ensemble résolvant, dans différents régimes en fréquence. La première partie de notre analyse a pour but d'étendre au cadre riemannien des résultats connus dans le cas euclidien. Nous commençons par traiter le régime basse fréquence, dans le cas de variétés asymptotiquement coniques. On prouve l'existence des limites de la résolvante et de ses puissances pour un opérateur de Schrödinger avec potentiel. Ce résultat permet notamment de retrouver la décroissance de l'énergie locale de la partie basse fréquence des solutions aux équations de Schrödinger, des ondes et de Klein-Gordon. Du point de vue technique, on utilise la théorie de Mourre pour prouver le principe d'absorption limite, ce qui nécessite un calcul pseudo-différentiel adapté de manière à traiter des opérateurs dépendants du paramètre spectral. Puis, on traite le régime haute fréquence, dans un cadre plus général que précédemment. D'une part on considère une classe de variétés incluant non seulement le cas asymptotiquement conique mais aussi asymptotiquement hyperbolique. D'autre part, on traite des perturbations à l'ordre un de l'opérateur de Schrödinger avec potentiel. Sous ces hypothèses, on obtient une estimation optimale de la résolvante sur la partie non compacte de la variété : celle-ci est bornée par l'inverse de la racine carrée du paramètre spectral. De plus, ces estimations sont obtenues dans des normes de type Besov, ce qui permet de considérer des topologies plus fortes que celles proposées dans la littérature. Pour finir, on traite la région compacte avec des résultats issus des inégalités de Carleman. Dans le dernier chapitre, on se place dans l'espace euclidien de dimension trois et quatre et on considère l'opérateur de Schrödinger avec un potentiel dont on suppose uniquement qu'il appartient à un espace de Lorentz. Plus précisément, on étudie la nature de la fréquence zéro ainsi que les propriétés de décroissance des états associés. On prouve que tout état résonnant appartenant à l'espace de Sobolev homogène d'ordre un est aussi dans un espace de Lebesgue faible. De plus, sous des hypothèses classiques d'orthogonalité entre l'état résonnant et le potentiel, on obtient l'intégrabilité L^2, L^{1, infini} et enfin L^1 de l'état résonnant.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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