Cette thèse est dédiée à l'étude de certaines équations aux dérivées partielles décrivant les écoulements à surface libre en mécanique des fluides et se compose de trois projets interconnectés. Le premier projet étudie l'implémentation de schémas numériques pour le système de Saint-Venant en utilisant une approche cinétique, en se concentrant principalement sur le cas unidimensionnel. En adoptant une approche cinétique implicite en temps, ce travail offre un avantage de calcul par rapport aux schémas implicites traditionnels, puisqu'il présente une expression explicite pour l'inverse de la matrice. Le schéma cinétique implicite préserve la positivité de la hauteur d'eau et satisfait une inégalité d'entropie. La deuxième contribution traite de l'analyse de la stabilité des équations d'Euler hydrostatiques. Une transformation est introduite pour réécrire ces équations comme un système quasi-linéaire généralisé avec un opérateur intégral, établissant l'équivalence dans des conditions spécifiques. Cette transformation permet de mieux comprendre le spectre de l'opérateur matriciel. En outre, nous proposons une discrétisation exacte multicouche de P0, qui pourrait être utilisée pour résoudre numériquement le système transformé et nous analysons son spectre. La troisième et dernière contribution est un travail en cours visant à fournir une justification mathématique des lois d'équilibre mécanique du système bidimensionnel de Boussinesq. Ce système est largement utilisé dans les applications des zones littorales et il est utile d'évaluer sa précision en termes de principes fondamentaux tels que la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. Nous donnons des estimations pour quantifier les erreurs introduites par ces approximations, offrant ainsi des indications précieuses sur la précision du système de Boussinesq.