Systems of particles in (singular) interaction : long time behavior and propagation of chaos
Systèmes de particules en interaction (singulière) : temps long et propagation du chaos
Résumé
This thesis is devoted to the study of certain systems of N particles in mean-field interaction, and of a specific phenomenon : in such systems, when N → ∞, two given particles become "more and more" independent. This property is named propagation of chaos, and our aim is to prove it in several settings. We focus on three main cases: the kinetic one (i.e. with degenerate noise), the one with singular interactions, and the one with incomplete interactions. In each case, we seek to obtain quantitative and uniform in time results. We start by setting up a coupling method to prove the long time convergence of the Vlasov-Fokker-Planck equation describing the limit of particles in Lipschitz interactions and confined by a non-convex potential. The coupling method is then adapted to prove the propagation of chaos property for this system, as well as for the FitzHugh-Nagumo model describing neurons in the brain interacting in a mean field way. We then focus on a few particle systems in Riesz interactions. The first one is the 2D vortex model, for which we prove uniform in time propagation of chaos using entropic methods. We then study a one-dimensional singular system, motivated by the Dyson Brownian motion derived from the study of random matrices, for which we prove this same phenomenon by a new coupling. Finally, we show the uniform in time mean field limit for a system of particles interacting according to a graph}, random or not, before turning our attention to a method of numerical simulation of interacting particles. In particular, we study the Random Batch Method, and its effect on the phase transition that may exist for the nonlinear limit of the particle system. To this end, we look successively at the Curie-Weiss model and the double-well model for the overdamped Langevin equation.
Cette thèse est consacrée à l'étude de certains systèmes de N particules en interaction en champ moyen, et d'un phénomène particulier : dans de tels systèmes, lorsque N → ∞, deux particules données deviennent "de plus en plus" indépendantes. Cette propriété est appelée propagation du chaos, et notre objectif est de la prouver dans plusieurs contextes. Nous nous concentrons sur trois cas principaux : le cas cinétique (c'est-à-dire avec un bruit dégénéré), celui des interactions singulières et celui des interactions incomplètes. À chaque fois, nous cherchons à obtenir des résultats quantitatifs et uniformes en temps. Nous commençons ainsi par mettre en place une méthode de couplage afin de prouver la convergence en temps long de l'équation de Vlasov-Fokker-Planck décrivant la limite de particules en interaction lipschitzienne et confinées via un potentiel non convexe. Cette méthode est ensuite adaptée pour prouver la propriété de propagation du chaos pour ce système, ainsi que pour le modèle de FitzHugh-Nagumo décrivant des neurones dans le cerveau interagissant en champ moyen. Nous nous intéressons ensuite à quelques systèmes de particules en interaction de type Riesz. Le premier est le modèle de vortex 2D, pour lequel nous prouvons la propagation du chaos uniforme en temps en utilisant des méthodes entropiques. Nous étudions ensuite un système singulier en dimension 1, motivé par le mouvement brownien de Dyson provenant de l'étude de matrices aléatoires, pour lequel nous prouvons ce même phénomène par un nouveau couplage. Enfin, nous montrons la limite de champ moyen uniforme en temps pour un système de particules interagissant selon un graphe, aléatoire ou non, avant de nous intéresser à une méthode de simulation numérique de particules en interaction. En particulier, nous étudions la Random Batch Method, et son effet sur la transition de phase qui peut exister pour la limite non linéaire du système de particules. Pour cela, nous regardons successivement le modèle de Curie-Weiss et le modèle double-puits pour l'équation de Langevin sur-amortie.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|
