Essentially Finite G-torsors over an algebraic curve
G-torseurs essentiellement finis
Résumé
Let $X$ be a smooth projective curve of genus $g$, defined over an algebraically closed field $k$, and let $G$ be a connected reductive group over $k$. We say that a $G$-torsor is essentially finite if it admits a reduction to a finite group, generalising the notion of essentially finite vector bundles to arbitrary groups $G$. We give a Tannakian interpretation of such torsors, and we prove that all essentially finite $G$-torsors have torsion degree, and that the degree is 0 if $X$ is an elliptic curve. We then study the density of the set of $k$-points of essentially finite $G$-torsors of degree $0$, denoted $M_{G}^{\text{ef},0}$, inside $M_{G}^{\text{ss},0}$, the $k$-points of all semistable degree 0 $G$-torsors. We show that when $g=1$, $M_{G}^{\text{ef}}\subset M_{G}^{\text{ss},0}$ is dense. When $g>1$ and when $\text{Char}(k)=0$, we show that for any reductive group of semisimple rank 1, $M_{G}^{\text{ef},0}\subset M_{G}^{\text{ss},0}$ is not dense
Soit $X$ une courbe projective lisse de genre $g$, définie sur un corps algébriquement clos $k$, et soit $G$ un groupe réductif connexe sur $k$. Nous disons qu'un $G$-torseur est essentiellement fini s'il admet une réduction à un groupe fini, généralisant la notion de fibrés vectoriels essentiellement finis à des groupes $G$ arbitraires.\newline
Nous donnons une interprétation tannakienne de tels torseurs, et nous prouvons que tous les $G$-torseurs essentiellement finis ont un degré de torsion, et que ce degré est égal à $0$ si $X$ est une courbe elliptique.\newline
Nous étudions ensuite la densité de l'ensemble des $k$-points des $G$-torseurs essentiellement finis de degré $0$, noté $M^{\text{ef},0}_G$, à l'intérieur de $M^{\text{ss},0}_G$, les $k$-points de tous les $G$-torseurs semi-stables de degré $0$. Nous montrons que lorsque $g=1$, $M^{\text{ef},0}_G$ est dense dans $M^{\text{ss},0}_G$. Quand $g>1$ et quand $car(k)=0$, nous montrons que pour tout groupe réductif semi-simple de rang 1, $M^{\text{ef},0}_G$ n'est pas dense dans $M^{\text{ss},0}_G$.
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