Algebraic Area of Lattice Random Walks and Exclusion Statistics
Aire algébrique de marches aléatoires et statistique d'exclusion
Résumé
The thesis focuses on the enumeration of closed lattice random walks according to their algebraic area, with connections to quantum exclusion statistics, as well as the combinatorics of generalized Dyck and Motzkin paths. In Chapter 1, we review the concept of algebraic area of a lattice random walk, the Hofstadter model, exclusion statistics, and their connections. In Chapter 2, we focus on the coefficients of the secular determinant of the Hofstadter Hamiltonian which are interpreted in terms of partition functions with exclusion parameter g=2. The algebraic area enumeration is obtained in terms of the associated cluster coefficients. We then study the closed random walks on the honeycomb lattice and establish a correspondence to a system of particles obeying a mixture of g=1 (fermions) and g=2 exclusion statistics. In Chapter 3, we relate the combinatorics of periodic generalized Dyck and Motzkin paths to the cluster coefficients of particles obeying generalized exclusion statistics, and obtain explicit expressions for counting Dyck and Motzkin paths with a fixed number of steps of each kind. In Chapter 4, we extend the algebraic area concept to closed cubic lattice walks and map the enumeration onto the cluster coefficients of three types of particles obeying g=1, g=1, and g=2 exclusion statistics, respectively, with the constraint that the numbers of g=1 exclusion particles of the two types are equal.
La thèse se concentre sur l'énumération de marches aléatoires fermées sur réseau avec une aire algébrique donnée, en lien avec les statistiques d'exclusion quantique et la combinatoire de chemins de Dyck et Motzkin généralisés. Dans le chapitre 1, nous rappelons la notion d'aire algébrique d'une marche aléatoire sur réseau, le modèle de Hofstadter, les statistiques d'exclusion et leurs connexions. Dans le chapitre 2, nous nous intéressons aux coefficients du déterminant séculaire du Hamiltonien de Hofstadter qui sont interprétés en termes de fonctions de partition d'exclusion avec paramètre d'exclusion g=2. L'énumération de l'aire algébrique est obtenue en termes des coefficients de cluster associés. Nous étudions ensuite les marches aléatoires fermées sur le réseau en nid d'abeille et établissons une correspondance avec un système de particules obéissant à un mélange de statistiques d'exclusion g=1 (fermions) et g=2. Dans le chapitre 3, nous relions la combinatoire de chemins de Dyck et Motzkin généralisés périodiques aux coefficients de cluster de particules obéissant à des statistiques d'exclusion généralisées, et obtenons des expressions explicites pour compter les chemins de Dyck et Motzkin avec un nombre fixe de pas de chaque type. Dans le chapitre 4, nous étendons le concept d'aire algébrique aux marches fermées sur un réseau cubique et associons l'énumération aux coefficients de cluster de trois types de particules obéissant à des statistiques d'exclusion g=1, g=1 et g=2, respectivement, avec la contrainte que les nombres de particules d'exclusion g=1 des deux types soient égaux.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|