Computational approach to the Schottky problem
Approche numérique pour le problème de Schottky
Résumé
We present a computational approach to the classical Schottky problem based on Fay's trisecant identity for genus ggeq4. For a given Riemann matrix \Omega\in\mathbb{H}^g , the Fay identity establishes linear dependence of secants in the Kummer variety if and only if the Riemann matrix corresponds to a Jacobian variety as shown by Krichever. The theta functions in terms of which these secants are given depend on the Abel maps of four arbitrary points on a Riemann surface. To establish linear dependence of the secants, four components of these Abel maps are conveniently chosen. The remaining components are determined by a Newton iteration to minimize the residual of the Fay identity.Krichever's theorem assures that if this residual vanishes within the finite numerical precision for a generic choice of input data, then the Riemann matrix is with this numerical precision in the Jacobi locus. The algorithm is compared in genus 4 for some examples to the Schottky-Igusa modular form known togive the Jacobi locus in this case. In genera 5, 6 and 7,we discuss known examples of Riemann matrices and perturbations thereof for which the Fay identity is not satisfied.To illustrate the importance of Jacobian varieties in areas outside of mathematics, we present algebro-geometric solutions of the Ernst equation that solve the Einstein field equations for stationary axisymmetric spacetimes. These solutions have not been extensively studied in simulations, due to the computational cost of calculating theta functions. Thus, we present a series of numerical techniques in order to approach the numerical simulations efficiently, which would allow further studies of these solutions.
Nous présentons une approche calculatoire du problème de Schottky classique basée sur l'identité trisécante de Fay pour le genre ggeq4. Pour une matrice de Riemann \Omega\in\mathbb{H}^g donnée, l'identité de Fay établit une dépendance linéaire des sécantes dans la variété de Kummer si et seulement si la matrice de Riemann correspond à une variété jacobienne comme le montre Krichever. Les fonctions th^{e}ta sous forme desquelles ces sécantes sont données dépendent des applications d'Abel de quatre points arbitraires sur une surface de Riemann. Pour établir la dépendance linéaire dessécantes, quatre composants de ces applications d'Abel sont choisis. Les composants restants sont déterminés par une itération de Newton pour minimiser le résidu de l'identité de Fay. Le théorème de Krichever assure que si ce résidu disparaît avec précision numérique finie pour un choix générique de données d'entrée, alors la matrice de Riemann est avec cette précision numérique dans le lieu de Jacobi. L'algorithme est comparé en genre 4 pour quelques exemples à la forme modulaire de Schottky--gusa donnant le lieu de Jacobi dans ce cas. Dans les genres 5, 6 et 7, nous discutons des exemples connus de matrices de Riemann et de leurs perturbations pour lesquelles l'identité de Fay n'est pas satisfaite.De plus, pour souligner l'importance des variétés jacobiennes dans des domaines en dehors des mathématiques, nous présentons des solutions algébro-géométriques de l'équation d'Ernst qui résolven tles équations de champ d'Einstein pour des espaces-temps axisymétriques stationnaires. Ces solutions n'ont pas été largement étudiées dans les simulations, en raison du coût de calcul des fonctions thêta. Ainsi, nous présentons une série de techniques numériques afin d'aborder efficacement les simulations numériques, ce qui permettrait d'approfondir l'étude de ces solutions.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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