Processus ponctuels déterminantaux associés à la hiérarchie discrète de Painlevé II et au processus de Pearcey - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2023

Determinantal Point Processes related to the discrete Painlevé II hierarchy and the Pearcey process

Processus ponctuels déterminantaux associés à la hiérarchie discrète de Painlevé II et au processus de Pearcey

Abstract

The aim of this thesis is to present new results concerning the Pearcey process and the discrete Painlevé II hierarchy. These processes both have interpretations in terms of determinantal point processes and Riemann-Hilbert problems. After recalling classical results on point processes and Riemann-Hilbert problems, we present, on one hand the discrete Painlevé II hierarchy, its link with random integer partitions and orthogonal polynomials, and on the other hand the Pearcey process and its generating function. Concerning the discrete Painlevé II hierarchy, this thesis presents a new Lax pair associated with this hierarchy of discrete equations. This result is based on the link between random in teger partitions, Toeplitz determinants and orthogonal polynomials. From this Lax pair it is then possible to determine a recursive operator for calculating the N-th equation of the hierarchy. For the Pearcey process, via the study of a Riemann-Hilbert problem associated to an integrable operator, we present “a TracyWidom like formula” to describe the generating function of the process.
Cette thèse vise à présenter des résultats nouveaux concernant le processus de Pearcey et la hiérarchie discrète de Painlevé II. Ces processus ont tous deux des interprétations en termes de processus ponctuels déterminantaux et de problèmes de RiemannHilbert. Après avoir rappelé les résultats classiques sur les processus ponctuels et les problèmes de Riemann-Hilbert, nous présentons, d’une part la hiérarchie discrète de Painlevé II, son lien avec les partitions aléatoires d’entier et les polynômes orthogonaux, d’autre part le processus de Pearcey et sa fonction génératrice. Concernant la hiérarchie discrète de Painlevé II, cette thèse est l’occasion de présenter une nouvelle paire de Lax associée à cette hiérarchie d’équations discrètes. Ce résultat s’appuie sur le lien entre partitions aléatoires d’entier, déterminants de Toeplitz et polynômes orthogonaux. De cette paire de Lax il est alors possible de déterminer un opérateur récursif permettant de calculer la N-ième équation de la hiérarchie. En ce qui concerne le processus de Pearcey, via l’étude d’un problème de Riemann-Hilbert associé à un opérateur intégrable, nous présentons une formule “à la Tracy-Widom” pour décrire la fonction génératrice du processus.
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tel-04449660 , version 1 (09-02-2024)

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  • HAL Id : tel-04449660 , version 1

Cite

Thomas Chouteau. Processus ponctuels déterminantaux associés à la hiérarchie discrète de Painlevé II et au processus de Pearcey. Mathématiques générales [math.GM]. Université d'Angers, 2023. Français. ⟨NNT : 2023ANGE0025⟩. ⟨tel-04449660⟩
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