Efficient enumeration algorithms for minimal graph completions and deletions
Algorithmes d'énumération efficaces pour les complétions et délétions minimales de graphes
Résumé
This thesis is about graph theory and more specifically enumeration algorithms for subgraphs or supergraphs.The problem we consider is the following: given a graph G and a graph property P can we find an efficient algorithm generating exactly once all the inclusion-wise maximal (induced or not) subgraphs of G that satisfy the property P?We are interested as well in inclusion-wise minimal supergraphs of G - called minimal completions of G - verifying P.Efficient algorithms, running with polynomial delay in polynomial space, are obtained for some of these problems when P describes the classes of split graphs, cographs, threshold graphs and chordal graphs.The thesis is organised as follows.First, the principal existing enumeration techniques are presented.Then, we are interested in the split property, for which we give a polynomial delay polynomial space algorithm enumerating minimal completions and deletions (maximal non-induced subgraphs).We are then interested in the well known Flashlight Search technique and show that it cannot be used to enumerate efficiently the maximal subgraphs in any class.After that, the recent Proximity Search technique is applied to the enumeration of maximal induced sub-cographs, maximal induced threshold subgraphs and minimal deletions into threshold graphs.This way, we obtain polynomial delay exponential space algorithms.This technique is also successfully applied to the enumeration of minimal completions into chordal graphs, for which the existence of a polynomial delay algorithm was an open problem.Finally, a generalisation of Proximity Search is proposed, and a new technique based on Proximity Search for polynomial delay polynomial space algorithms is introduced.We apply this technique to most of the problems solved in this thesis via Proximity Search, therefore reducing their space complexity.
Cette thèse porte sur la théorie des graphes et plus particulièrement les algorithmes d'énumération de sous-graphes ou sur-graphes.Le problème auquel on s'intéresse est le suivant: étant donné un graphe quelconque G et une propriété de graphes P, peut-on trouver un algorithme efficace qui génère une et une seule fois tous les sous-graphes maximaux pour l'inclusion (induits ou non) de G qui vérifient la propriété P ?De même, on s'intéresse aussi aux sur-graphes de G minimaux pour l'inclusion - appelés complétions minimales de G - qui vérifient P.Des algorithmes efficaces, à délai polynomial en espace polynomial, sont obtenus pour certains de ces problèmes lorsque P décrit la classe des graphes split, des cographes, des graphes threshold et des graphes cordaux.La thèse se décompose de la manière suivante.D'abord, les principaux algorithmes d'énumération existants sont présentés.Puis on s'intéresse à la propriété split, pour laquelle on donne un algorithme à délai polynomial en espace polynomial pour l'énumération des complétions minimales et délétions minimales (sous-graphes maximaux non induits).On s'intéresse ensuite à une technique d'énumération existante appelée Flashlight Search et on montre qu'elle ne peut être utilisée pour énumérer efficacement les sous-graphes maximaux dans n'importe quelle classe.Après cela, la récente technique de Proximity Search est appliquée à l'énumération des sous-graphes maximaux induits dans la classe des cographes, des sous-graphes threshold maximaux induits et des délétions minimales en graphe threshold.Nous obtenons ainsi des algorithmes à délai polynomial en espace exponentiel.Cette technique est aussi appliquée avec succès à l'énumération des complétions minimales en graphe cordal, pour lesquelles l'existence d'un algorithme à délai polynomial était un problème ouvert.Enfin, une généralisation de la technique de Proximity Search est proposée, et une nouvelle technique fondée sur le Proximity Search pour des algorithmes à délai polynomial en espace polynomial est introduite.Nous appliquons cette technique à la plupart des problèmes résolus dans cette thèse via Proximity Search, ce qui réduit leur complexité en espace.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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