Cette thèse de doctorat se propose de définir et d'expliciter les outils pour la reconstruction de courbes par des méthodes variationnelles sans-grille dans une perspective d'applications en imagerie biomédicale, et plus précisément en microscopie de fluorescence.Plusieurs algorithmes numériques convexes ou non-convexes ont déjà été développés au sein de l'équipe de recherche Morpheme qui a accueilli cette thèse, dans le cadre de l'optimisation non convexe parcimonieuse. Ces techniques ont été développées dans le cas discret, sur grille, ce qui signifie que l'image super-résolue est définie sur une grille plus fine que les images observées. A contrario, dans cette thèse de doctorat, nous développons des méthodes sans grille, en travaillant sur l'espace des mesures bornées. Ce choix apporte plusieurs avantages : la source n'est pas limitée par une grille fine et peut être localisée continûment, des bornes quantitatives sur l'écart entre la reconstruction et la source peuvent être énoncées, et ces approches permettent d'encoder une information structurelle ou géométrique dans le problème variationnel, de sorte à reconstruire une source d'une certaine forme, telle qu'un point ou une courbe.Dans un premier temps, nous rappellerons l'état de l'art des méthodes sans-grille, qui porte sur la reconstruction de sources ponctuelles. Nous illustrerons en particulier son intérêt pratique en microscopie de fluorescence, notamment face à des modèles classiques : les reconstructions proposées sont aussi convaincantes que celles produites par des modèles d'apprentissage profond, et ce, sans nécessiter d'ensemble d'apprentissage ou d'hyperparamètres à régler.Puis, nous introduirons une méthode sans-grille dans le cadre de la microscopie de fluorescence par fluctuation. Cette dernière repose sur l'indépendance des fluctuations de luminosité des fluorophores, ce qui permet en pratique de faire l'économie de matériel d'acquisition spécifique et coûteux. Les limites de ce modèle, formulé pour la reconstruction de sources ponctuelles, nous conduirons à nous intéresser sur la formulation d'une nouvelle méthode sans-grille, cette fois-ci pour la reconstruction de sources courbes.Nous nous pencherons sur la conception d'une méthode sans-grille, qui répond à la problématique de fluorophores le long de filaments qui forment de courbes dans les images, et qui n'est à notre connaissance pas traitée dans la littérature. En particulier, nous définirons l'espace d'optimisation impliqué, à savoir l'espace des mesures vectorielles à divergence finie, aussi appelé espace des charges. Nous poursuivrons en explicitant la manière de définir des mesures portées par des courbes, et en écrivant une nouvelle fonctionnelle appelée CROC (pour Curves Represented On Charges). Nous finirons en montrant qu'il existe une solution de cette énergie qui s'écrit comme une combinaison linéaire finie de mesures portées par des courbes.Finalement, nous étudierons la mise en œuvre numérique de la minimisation de cette énergie, à l'aide d'une adaptation d'algorithme glouton répandu dans la littérature. Nous discuterons des propriétés de notre algorithme, appelé Charge Sliding Frank-Wolfe, des difficultés rencontrées dans la définition du modèle d'observation, dans le choix de la paramétrisation discrète des courbes, etc.Le propos sera clôturé avec une conclusion qui rappellera les principaux points de chaque chapitre, ainsi qu'une ouverture, récapitulant les pistes de recherche possibles que nous avons dégagées au fil des chapitres.