Geometry of horospherical varieties of rank 1, smooth, projective, with Picard number 2
Géométrie des variétés horosphériques de rang 1, projectives, lisses, de nombre de Picard 2
Résumé
Horospherical varieties represent an important subfamily of complex algebraic varieties, endowed with the action of a reductive and connected group G. The ones which are smooth with Picard number 1 (non homogeneous) are grouped into 5 families and have already been studied. The ones which are smooth with Picard number 2 are much more numerous. In this thesis, we study the geometry of these varieties denoted by X, only in rank 1, which already represents more than 500 families.
Part of the geometry of theses varieties has already been described by the Log MMP, and in this thesis we give other types of geometric characteristics.
The first part of the study deals with the action of the connected automorphisms group of X, which has 3 orbits under the action of G. In this thesis we show that X is either a two or three-orbit variety under the action of the connected automorphisms group. Then, a full description of this group is given and we describe the automorphisms group of X, and we note that there are only few cases in which the group is not connected.
The second part of this thesis deals with the local rigidity of X. We compute the first cohomology group H^1(X,T_{X}) of the tangent bundle of X and we extract a very small number of cases in which the variety may not be locally rigid.
Part of the geometry of theses varieties has already been described by the Log MMP, and in this thesis we give other types of geometric characteristics.
The first part of the study deals with the action of the connected automorphisms group of X, which has 3 orbits under the action of G. In this thesis we show that X is either a two or three-orbit variety under the action of the connected automorphisms group. Then, a full description of this group is given and we describe the automorphisms group of X, and we note that there are only few cases in which the group is not connected.
The second part of this thesis deals with the local rigidity of X. We compute the first cohomology group H^1(X,T_{X}) of the tangent bundle of X and we extract a very small number of cases in which the variety may not be locally rigid.
Les variétés horosphériques forment une sous-famille importante de variétés algébriques complexes, munies de l'action d'un groupe G réductif et connexe. Celles qui sont lisses de nombre de Picard 1 (non homogènes) sont regroupées en 5 familles et ont déjà été étudiées. Celles qui sont lisses de nombre de Picard 2 sont beaucoup plus nombreuses. Dans cette thèse, on étudie la géométrie de ces dernières qu'on notera X, uniquement en rang 1, ce qui représente déjà plus de 500 familles.
Une partie de la géométrie de ces variétés a déjà été décrite par le Log MMP, et dans cette thèse on donne d’autres types de caractéristiques géométriques.
Le premier axe d’étude concerne l’action du groupe connexe d'automorphismes de X, qui possède 3 orbites sous l'action de G. On montre dans cette thèse que X est soit à 2 orbites, soit à 3 orbites sous son groupe connexe d'automorphismes. Grâce à cette étude, une description totale de ce groupe est donnée, puis on décrit le groupe d'automorphismes de X dans sa totalité, et on remarque en particulier qu'il n'y a que très peu de cas où le groupe n'est pas connexe.
La deuxième partie de cette thèse porte sur la rigidité locale de X. On calcule le premier groupe de cohomologie H^1(X,T_{X}) du fibré tangent de X et on extrait ainsi un nombre assez restreint de cas où la variété peut ne pas être localement rigide.
Une partie de la géométrie de ces variétés a déjà été décrite par le Log MMP, et dans cette thèse on donne d’autres types de caractéristiques géométriques.
Le premier axe d’étude concerne l’action du groupe connexe d'automorphismes de X, qui possède 3 orbites sous l'action de G. On montre dans cette thèse que X est soit à 2 orbites, soit à 3 orbites sous son groupe connexe d'automorphismes. Grâce à cette étude, une description totale de ce groupe est donnée, puis on décrit le groupe d'automorphismes de X dans sa totalité, et on remarque en particulier qu'il n'y a que très peu de cas où le groupe n'est pas connexe.
La deuxième partie de cette thèse porte sur la rigidité locale de X. On calcule le premier groupe de cohomologie H^1(X,T_{X}) du fibré tangent de X et on extrait ainsi un nombre assez restreint de cas où la variété peut ne pas être localement rigide.
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