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Thèse Année : 2022

Random multi-geodesics on hyperbolic surfaces

Multi-géodésiques aléatoires sur les surfaces hyperboliques

Résumé

A multi-geodesic is a disjoint union of closed geodesics without self-intersections. After explaining how to randomly pick a multi-geodesic on a hyperbolic surface, we determine the distribution of the length partition of a random multi-geodesic with fixed topological type on a hyperbolic surface using the methods of Margulis' thesis and Mirzakhani's equidistribution theorem for horospheres. This distribution admits a polynomial density, whose coefficients can be expressed explicitly in terms of intersection numbers of psi-classes on the Deligne--Mumford compactification of the moduli space of smooth complex curves, and in particular it does not depend on the hyperbolic metric of the surface. We then show that, as the genus of the surface goes to infinity, the distribution of the length partition of a general multi-geodesic (with no topological constraints) converges in law to the Poisson--Dirichlet process of parameter 1/2. In particular, the average lengths of the first three largest connected components of a random multi-geodesic on a large genus hyperbolic surface are approximately, 75.8%, 17.1%, 4.9%, respectively, of its total length. The key ingredients of the proof are the asymptotic analysis of intersection numbers and Masur--Veech volumes performed by Aggarwal, and the work of Delecroix--Goujard--Zograf--Zorich on the topology of random multi-geodesics.
Une multi-géodésique est une union disjointe de géodésiques fermées sans auto-intersections. Après avoir expliqué comment choisir au hasard une multi-géodésique sur une surface hyperbolique, on détermine la loi de la partition de la longueur totale d'une multi-géodésique aléatoire d'un type topologique fixe sur une surface hyperbolique en utilisant les méthodes développés par Margulis dans sa thèse et le théorème d'équidistribution des horosphères dû à Mirzakhani. Cette loi admet une densité polynomiale dont les coefficients s'écrivent explicitement en termes de nombres d'intersection des classes de psi sur la compactification de Deligne--Mumford de l'espace de modules de courbes complexes lisses, et en particulier, elle ne dépend pas de la métrique hyperbolique de la surface. On montre ensuite que, lorsque le genre de la surface tend vers l'infinie, la distribution de la partition de la longueur totale d'une multi-géodésique aléatoire générale (sans imposer de contraintes topologiques) converge en loi vers le processus de Poisson--Dirichlet de paramètre 1/2. En particulier, les longueurs moyennes des trois composantes connexes les plus longues d'une multi-géodésique aléatoire sur une surface hyperbolique de grand genre sont approximativement 75.8%, 17.1%, 4.9%, respectivement, de la longueur totale. Les éléments clés de la preuve sont l'analyse ansymptotique des nombres d'intersection et des volumes de Masur--Veech effectuée par Aggarwal, et les travaux de Delecroix--Goujard--Zograf--Zorich sur la topologie des multi-géodesiques aléatoire.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04521297 , version 1 (26-03-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04521297 , version 1

Citer

Mingkun Liu. Random multi-geodesics on hyperbolic surfaces. Geometric Topology [math.GT]. Université Paris Cité, 2022. English. ⟨NNT : 2022UNIP7320⟩. ⟨tel-04521297⟩
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