Classification of measure-preserving actions of invariant random subgroups and model theory - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Classification of measure-preserving actions of invariant random subgroups and model theory

Classification d’actions ergodiques de sous-groupes aléatoires invariants et théorie des modèles

Résumé

This PhD thesis is centered on the study of measure-preserving actions of countable groups on probability spaces, and of the associated invariant random subgroups (IRS). It is divided in two parts. The first part is focused on measure-preserving actions whose IRS is hyperfinite. This framework extends that of free measure-preserving actions of amenable groups. We describe a new proof of a theorem of G. Elek which states that any two measure-preserving actions which share the same hyperfinite IRS must be approximately conjugate. Our proof provides a more precise statement which we use for the study of measure- preserving actions with hyperfinite IRS from a model-theoretic perspective. The second part is focused on non hyperfinite IRS, and more generally on non hyperfinite measure-preserving groupoids (every IRS naturally yields a measure-preserving groupoid). Property (T) for measure-preserving groupoids is characterized in terms of ergodic actions, providing a natural extension a result of Connes and Weiss for countable groups. This result is used in a joint work with Alessandro Carderi and François Le Maître, where it is shown that an ergodic measure-preserving equivalence relation has property (T) if and only if all the non-free ergodic measure-preserving actions of its full group are strongly ergodic. We then extend a result of Hjorth on the space of free actions to actions with a given IRS, and deduce a rigidity result for a new relation on the space of actions. The thesis ends with an overview of the different relations on the space of measure-preserving actions of a countable group.
Cette thèse est centrée sur l'étude des actions préservant la mesure de groupes dénombrables sur des espaces de probabilité, et des sous-groupes aléatoires invariants (IRS) associés. Elle consiste en deux parties. Dans la première, on y étudie les actions préservant la mesure dont l'IRS associé est hyperfini, cadre qui généralise celui des actions libres de groupes moyennables. On redémontre un théorème de G. Elek qui dit que deux actions préservant la mesure de même IRS hyperfini sont approximativement conjuguées. La preuve fournit en fait un résultat plus précis qu'on utilise ensuite pour étudier les actions préservant la mesure d'IRS hyperfini du point de vue de la théorie des modèles métrique. La seconde partie se focalise sur les IRS non hyperfinis, et plus généralement sur les groupoïdes préservant la mesure non hyperfinis (un IRS donnant naturellement lieu à un groupoïde). La propriété (T) des groupoïdes préservant la mesure est caractérisée en termes d'actions ergodiques, étendant de manière naturelle un résultat de Connes et Weiss pour les groupes dénombrables. Ce résultat est utilisé dans un travail en commun avec Alessandro Carderi et François Le Maître, où il est montré qu'une relation d'équivalence préservant une mesure de probabilité a la propriété (T) si et seulement si toutes les actions ergodiques non libres de son groupe plein sont fortement ergodiques. On étend ensuite un résultat de Hjorth sur l'espace des actions aux IRS, et en déduit un résultat de rigidité pour une nouvelle relation sur l'espace des actions. La thèse se conclut par un panorama des différentes relations sur l'espace des actions préservant la mesure d'un groupe dénombrable.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04534095 , version 1 (05-04-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04534095 , version 1

Citer

Alice Giraud. Classification of measure-preserving actions of invariant random subgroups and model theory. Operator Algebras [math.OA]. Université Paris Cité, 2022. English. ⟨NNT : 2022UNIP7324⟩. ⟨tel-04534095⟩
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