Supervised classification and nonparametric estimation for S.D.E.
Classification supervisée et estimation non-paramétrique pour les EDS
Résumé
This thesis deals with statistical studies based on functional data modelled by stochastic differential equations whose solutions are called diffusion processes. More precisely, we bring contributions onthe resolution of the problem of nonparametric estimation of coefficients of a diffusion process inshort time, and on the construction of nonparametric procedures for multi-class classification of dif-fusion paths. The thesis is divided into three main parts, each one focusing on a specific topic. The first part proposes a plug-in type classification procedure for diffusion paths. We consider adiffusion model in which a diffusion process X is a strong solution of a time-homogeneous stochas-tic differential equation whose drift coefficient is unknown and depends on the label Y , and thediffusion coefficient, also unknown, is common to all classes. We propose, from a learning samplecontaining N independent observations of the diffusion process, a plug-in classifier based on non-parametric estimators of coefficients of the diffusion process, and the estimator of the discrete lawof the label Y . We prove the consistency of the plug-in classifier, and establish a rate of convergenceof order N ^{−1/5} in a more general framework where the coefficients of the diffusion process are un-known and Lipschitz. We also derive some faster rates of convergence under stronger assumptionson the drift and the diffusion coefficient. In the second part of the thesis, we focus on the nonparametric estimation of the diffusion coeffi-cient of a time-homogeneous stochastic differential equation with a finite time horizon. Two frame-works are considered. In the first framework, we assume that only a single discrete path is observed,and in the second framework, we assume that N diffusion paths, generated independently, are ob-served. In each framework, we propose projection estimators of the square of the diffusion coeffi-cient respectively on a compact interval, and on the real line, by minimizing a least squares contrastfunction. We establish the consistency of estimators, and derive rates of convergence under mildassumption on the diffusion coefficient. The last part focuses on the construction of a ERM-type nonparametric procedure for multiclassclassification of diffusion paths. This construction mainly relies on a time-homogeneous diffusionmodel caracterized by a stochastic differential whose drift and diffusion coefficients are unknown.The drift function depends on the label Y , and the diffusion coefficient is the same for all classes. The goal is to build a empirical classifier by minimizing the empirical risk of classification. We provethe consistency of the ERM-type classifier, and derive a rate of convergence of order N^{−β/(2β+1)}over a Hölder space of smoothness parameter β ≥ 1. We then establish, over the same Hölderspace of smoothness parameter β ≥ 1, a faster rate of convergence of order N ^{−4β/3(2β+1)} in binaryclassification, thanks to a margin assumption imposed on the regression function associated to the model
Cette thèse porte sur des études statistiques basées sur les données fonctionnelles modélisées par des équations différentielles stochastiques dont les solutions sont appelées processus de diffusion. Il s'agit plus précisément d'apporter des contributions sur le problème d'estimation non-paramétrique des coefficients d'un processus de diffusion en temps court, et sur la construction de procédures non-paramétriques de classification multi-classes pour les trajectoires de diffusion en temps court. La thèse est divisée en trois principales parties, chacune répondant à une problématique précise. La première partie propose une procédure de classification de type plug-in des trajectoires de diffusion. Nous partons d'un modèle de diffusion dans lequel un processus de diffusion X est solution forte d'une équation différentielle stochastique homogène en temps dont le coefficient de dérive est supposé inconnu et dépend de la classe Y qui est une variable aléatoire discrète de loi inconnue, et le coefficient de diffusion, aussi supposé inconnu, est commun à toutes les classes. On propose, à partir d'un échantillon de taille N constitué d'observations indépendantes du processus de diffusion, un classifieur de type plug-in basé sur des estimateurs non-paramétriques des coefficients de dérive et de diffusion, et de l'estimateur de la loi discrète de l'étiquette Y . Nous prouvons le consistance du classifieur plug-in et établissons une vitesse de convergence de l'ordre de N^{−1/5} dans un cadre plus général, où les coefficients du processus sont des fonctions sont inconnues et lipschitziennes. Nous établissons ensuite des vitesses plus rapides sous des hypothèses plus fortes sur les coefficients de dérive et de diffusion. Dans la deuxième partie de la thèse, on se focalise sur l'estimation non-paramétrique du coefficient de diffusion d'une équation différentielle stochastique homogène en temps avec un horizon temporel fini. Deux cadres d'étude sont envisagés. Le premier cadre est celui dans lequel on suppose observer une seule trajectoire de diffusion, et dans le deuxième cadre, on suppose observer N trajectoires de diffusion générées de manière indépendante. Dans chaque cadre d'étude, nous proposons des estimateurs par projection du carré du coefficient de diffusion respectivement sur un intervalle compact, et sur la droite réelle R par la minimisation d'une fonction de contraste des moindres carrés. Nous établissons la consistance des estimateurs et des vitesses de convergences sous des hypothèses de régularité sur le coefficient de diffusion.La dernière partie traite de la construction d'une procédure non-paramétrique de classification multiclasses de type ERM pour les trajectoires de diffusion. Cette construction repose principale-ment sur un modèle de diffusion homogène en temps caractérisé par une équation différentielle stochastique dont les coefficients de dérive et de diffusion sont inconnus. Le coefficient de dérive dépend de l'étiquette Y et le coefficient de diffusion est commun à toutes les classes. L'objectif est de construire un classifieur empirique par la minimisation du risque empirique (ERM) de classification.Nous prouvons la consistance du classifieur de type ERM et établissons une vitesse de convergence de l'ordre de N^{−β/(2β+1)} sur un espace de Hölder de paramètre de régularité β ≥ 1. Nous établissons ensuite, sur le même espace de Hölder de régularité β ≥ 1, une vitesse plus rapide de l'ordre de N^{−4β/3(2β+1)} en classification binaire, grâce à une hypothèse de marge imposée sur la fonction de régression associée au modèle
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