Partial abelianization of GL_n-local systems and non-commutative A-coordinates - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Partial abelianization of GL_n-local systems and non-commutative A-coordinates

Abélianisation partielle des GL_n-systèmes locaux et coordonnées A non-commutatives

Résumé

In this thesis, we aim to study moduli spaces of G-local systems over a ciliated surface S for various Lie groups G. We generalize a construction of Gaiotto-Moore-Neitzke called abelianization, allowing this procedure to be conducted ''partially''. The result of this generalized procedure allow us to describe the topology of open dense subspaces inside the moduli space of GL_n-local systems, and together with Eugen Rogozinnikov we extended further the abelianization procedure to symplectic local systems, allowing us to describe the topology of open dense subspaces inside the moduli space of symplectic local systems. In particular, we describe the topology of the set of maximal representations of a punctured surface group into a symplectic group Sp(A,s) over a symmetric algebra (A,s). Given the strong relations between the original construction by Gaiotto-Moore-Neitzke and Fock-Goncharov cluster coordinates, another benefit of the generalized abelianization construction is that it help us define and study a non-commutative generalization of Fock-Goncharov A-coordinates. When G = GL_{2n}(R), we show that these non-commutative A-coordinates are a representation of the non-commutative algebra A_S introduced by Berenstein-Retakh. These non-commutative A-coordinates also restrict to non-commutative coordinates on the space of symplectic representations with lagrangian framing.
Dans cette thèse, nous étudions les espaces de modules des systèmes G-locaux sur une surface ciliée S pour différents groupes de Lie G. Nous généralisons une construction de Gaiotto-Moore-Neitzke appelée abélianisation, permettant à cette procédure d'être menée ''partiellement''. Le résultat de cette procédure généralisée nous permet de décrire la topologie de sous-espaces denses ouverts dans l'espace de modules des GL_n-systèmes locaux. Avec Eugen Rogozinnikov, nous avons étendu la procédure d'abélianisation aux systèmes locaux symplectiques, ce qui nous permet de décrire la topologie des sous-espaces denses ouverts dans l'espace de modules des systèmes locaux symplectiques. En particulier, nous décrivons la topologie de l'ensemble des représentations maximales d'un groupe de surfaces à pointes dans un groupe symplectique Sp(A,s) sur une algèbre symétrique (A,s). Étant donné les relations fortes entre la construction originale de Gaiotto-Moore-Neitzke et les coordonnées de Fock-Goncharov, un autre avantage de la construction d'abélianisation généralisée est qu'elle nous aide à définir et à étudier une généralisation non-commutative des coordonnées A de Fock-Goncharov. Lorsque G = GL_{2n}(R), nous montrons que ces coordonnées A non-commutatives sont une représentation de l'algèbre non-commutative A_S introduite par Berenstein-Retakh. Ces coordonnées A non-commutatives se restreignent aussi à des coordonnées non-commutatives sur l'espace des représentations symplectiques avec un encadrement lagrangien.
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tel-04585679 , version 1 (05-12-2023)
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  • HAL Id : tel-04585679 , version 1

Citer

Clarence Kineider. Partial abelianization of GL_n-local systems and non-commutative A-coordinates. Mathematics [math]. Université de Strasbourg, 2023. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04585679v1⟩
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