A posteriori error estimates and adaptivity in numerical approximation of PDEs : regularization, linearization, discretization, and floating point precision
Estimations d'erreurs a posteriori et adaptivité en approximation numérique des EDPs : régularisation, linéarisation, discrétisation et précision en virgule flottante
Résumé
This thesis concerns a posteriori error analysis and adaptive algorithms to approximately solve nonlinear partial differential equations (PDEs). We consider PDEs of both elliptic and degenerate parabolic type. We also study adaptivity in floating point precision of a multigrid solver of systems of linear algebraic equations. In the first two chapters, we consider elliptic PDEs arising from an energy minimization problem. The a posteriori analysis therein is based directly on the difference of the energy in the true and approximate solution. The nonlinear operators of the elliptic PDEs we consider are strongly monotone and Lipschitz continuous. In this context, an important quantity is the “strength of the nonlinearity” given by the ratio L/α where L is the Lipschitz continuity constant and α is the (strong) monotonicity constant. In Chapter 1 we study an adaptive algorithm comprising adaptive regularization, discretization, and linearization. The algorithm is applied to an elliptic PDE with a nonsmooth nonlinearity. We derive a guaranteed upper bound based on primal-dual gap based estimator. Moreover, we isolate components of the error corresponding to regularization, discretization, and linearization that lead to adaptive stopping criteria. We prove that the component estimators converge to zero in the respective limits of regularization, discretization, and linearization steps of the algorithm. We present numerical results demonstrating the effectiveness of the algorithm. We also present numerical evidence of robustness with respect to the aforementioned ratio L/α which motivates the work in the second chapter. In Chapter 2, we consider the question of efficiency and robustness of the primal-dual gap error estimator. We in particular consider an augmented energy difference, for which we establish independence of the ratio L/α (robustness) for the Zarantonello linearization and only patch-local and computable dependence for other linearization methods including the Newton linearization. Numerical results are presented to substantiate the theoretical developments. In Chapter 3 we turn our attention to the problem of adaptive regularization for the Richards equation. The Richards equation appears in the context of porous media modeling. It contains nonsmooth nonlinearities, which are amenable to the same approach we adopt in Chapter 1. We develop estimators and an adaptive algorithm where the estimators are inspired by estimators based on the dual norm of the residual. We test our algorithm on a series of numerical examples coming from the literature. In Chapter 4 we provide details for an efficient implementation of the equilibrated flux, a crucial ingredient in computing the error estimators so far discussed. The implementation relies on the multi-threading paradigm in the Julia programming language. An additional loop is introduced to avoid memory allocations, which is crucial to obtain parallel scaling. In Chapter 5 we consider a mixed precision iterative refinement algorithm with a geometric multigrid method as the inner solver. The multigrid solver inherently provides an error estimator of the algebraic error which we use in the stopping criterion for the iterative refinement. We present a benchmark to demonstrate the speedup obtained by using single precision representations of the sparse matrices involved. We also design an adaptive algorithm that uses the aforementioned estimator to identify when iterative refinement in single precision fails and is able to recover and solve the problem fully in double precision.
Cette thèse se concentre principalement sur l'analyse d'erreur a posteriori et les algorithmes adaptatifs qui en découlent pour résoudre itérativement des équations aux dérivées partielles (EDP) non linéaires. Nous considérons des EDP de type elliptique et parabolique dégénéré. Nous étudions également l'adaptivité dans la précision en virgule flottante d'un solveur multigrille. Dans les deux premiers chapitres, nous considérons des EDP elliptiques découlant d'un problème de minimisation d'énergie. L'analyse a posteriori est directement basée sur la différence d'énergie entre la solution vraie et approchée. Les applications non linéaires des EDP elliptiques que nous considérons sont en particulier fortement montones et Lipschitziennes. Dans ce contexte, une quantité importante est la « force de la non-linéarité » donnée par le rapport L/α où L est la constante de Lipschitz et α est la constante de (forte) montonicité. Dans le Chapitre 1, nous étudions un algorithme adaptatif comprenant la régularisation, la discrétisation et la linéarisation adaptative. L'algorithme est appliqué à une EDP elliptique avec une non-linéarité non régulière. Nous établissions une borne supérieure garantie, fondée sur un estimateur basé sur l'écart primal-dual. De plus, nous isolons les composantes de l'erreur correspondant à la régularisation, la discrétisation et la linéarisation qui conduisent à des critères d'arrêt adaptatifs. Nous prouvons que les estimateurs des composantes convergent vers zéro dans les limites respectives de régularisation, discrétisation et linéarisation de l'algorithme. Nous présentons des résultats numériques démontrant l'efficacité de l'algorithme. Nous présentons également des preuves numériques de robustesse par rapport au ratio mentionné L/α qui motive le travail dans le deuxième chapitre. Dans le Chapitre 2, nous examinons la question de l'efficacité et de la robustesse de l'estimateur d'erreur de l'écart primal-dual. Nous considérons en particulier une différence d'énergie augmentée, pour laquelle nous établissons une indépendance vis-à-vis de ce ratio pour la linéarisation de Zarantonello et seulement une dépendance locale et calculable par patch pour d'autres méthodes de linéarisation, y compris la linéarisation de Newton. Des résultats numériques sont présentés pour étayer les développements théoriques. Dans le Chapitre 3, nous nous tournons vers le problème de régularisation adaptative pour l'équation de Richards. L'équation de Richards apparaît dans le contexte de la modélisation des milieux poreux. Elle contient des non-linéarités non-régulières, et se prêtant à la même approche que celle adoptée dans le Chapitre 1. Nous développons des estimateurs, ici inspirés des estimateurs en norme duale du résidu, ainsi qu'un algorithme adaptatif basé sur ces estimateurs. Dans le Chapitre 4, nous fournissons des détails sur la mise en œuvre efficace du flux équilibré : un ingrédient crucial dans le calcul des estimateurs d'erreur. La mise en œuvre s'appuie sur le paradigme du multi-threading dans le langage de programmation Julia. Une boucle supplémentaire est introduite pour éviter les allocations de mémoire, essentielle pour obtenir un passage à l'échelle parallèle. Dans le Chapitre 5, nous considérons un algorithme de précision mixte avec une méthode de multigrille géométrique comme solveur interne. Le solveur multigrille fournit intrinsèquement un estimateur d'erreur que nous utilisons dans le critère d'arrêt pour le raffinement itératif. Nous présentons un benchmark pour démontrer l'accélération obtenue en utilisant des représentations en simple précision des matrices creuses impliquées. Nous concevons également un algorithme adaptatif qui utilise l'estimateur mentionné pour identifier quand le raffinement itératif échoue pour des problèmes trop mal conditionnés, l'algorithme est alors capable de récupérer et de résoudre le problème entièrement en double précision.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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