Cutoff phenomenon for some interacting particle systems - TEL - Thèses en ligne
Thèse Année : 2024

Cutoff phenomenon for some interacting particle systems

Le phénomène de Cutoff pour quelques systèmes de particules en interaction

Résumé

On a finite state space, an irreducible continuous-time Markov chain converges to its unique stationary measure, or in other words, mixes. The convergence is often measured by the total variation distance. In the modern theory of Markov Chains, we are interested in the case where the state space becomes large. When studying some models of card shuffling, Aldous, Diaconis, and Shashahani discovered a remarkable phenomenon now known as cutoff: as the state space becomes large, the distance between the chain and equilibrium stays close to its maximal value for a long time and then suddenly drops to near zero in a much shorter time scale. Since then, the cutoff phenomenon has been observed in many different contexts, such as birth and death chains, high-temperature spin systems, interacting particle systems, etc. Despite the accumulation of models, there is not yet a general theory to effectively predict cutoff. Instead, cutoff is proved model by model.In this thesis, we study three models : the one-dimensional Exclusion process with reservoirs, the Glauber-Exclusion process in the high-temperature regime, and the mean-field Zero-Range process with increasing sublinear potential. These three models all fall under the category of interacting particle systems. For each model, we establish cutoff and provide a sharp estimate on the spectral gap. We particularly focus on the information percolation framework introduced by Lubetzky and Sly, which allows us to show cutoff even without knowing the explicit formula of the invariant measure.
Sur un espace d’états fini, une chaîne de Markov irréductible à temps continu converge vers sa mesure stationnaire unique, ou en d’autres termes, se mélange. La convergence est mesurée par rapport à la distance en variation totale. Dans la théorie moderne des chaînes de Markov, nous nous intéressons aux chaînes où l’espace d’états devient grand. En étudiant certains modèles de mélange de cartes, Aldous, Diaconis et Shashahani ont découvert le phénomène remarquable maintenant connu sous le nom de cutoff : lorsque l’espace d’états devient grand, la distance entre la chaîne et l’équilibre reste proche de sa valeur maximale pendant une longue période, puis chute soudainement vers zéro sur une échelle de temps beaucoup plus courte. Depuis, le phénomène de cutoff a été observé dans de nombreux contextes différents, tels que les chaînes de naissance et de mort, les systèmes de spin à haute température, les systèmes de particules en interaction, etc. Malgré l’accumulation de modèles, il n’existe pas encore de théorie générale permettant de prédire efficacement cutoff. Au lieu de cela, le cutoff est montré modèle par modèle. Dans cette thèse, nous étudions trois systèmes de particules en interaction: le processus d’exclusion unidimensionnel avec réservoirs, le processus de Glauber-Exclusion dans le régime à haut température, et le processus de Zero-Range à champ-moyen avec potentiel croissant sous-linéairement. Pour chaque modèle, nous établissons cutoff et fournissons une estimation fine pour le trou spectral. Nous nous concentrons particulièrement sur le cadre de la percolation de l’information introduit par Lubetzky et Sly, qui nous permet de montrer le cutoff même sans connaître la formule explicite de la mesure invariante.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04636650 , version 1 (05-07-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04636650 , version 1

Citer

Hong Quan Tran. Cutoff phenomenon for some interacting particle systems. General Mathematics [math.GM]. Université Paris sciences et lettres, 2024. English. ⟨NNT : 2024UPSLD007⟩. ⟨tel-04636650⟩
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