Twin-width : lower bounds and approximation algorithms
Twin-width : bornes inférieures et algorithmes d'approximation
Résumé
This thesis focuses on the study of new graph decompositions, in particular twin-width, which is a new parameter for measuring the complexity of a graph, defined in 2020 by Eun Jung Kim, Stéphan Thomassé, Rémi Watrigant and Édouard Bonnet. It turns out to be an important parameter for understanding the structure of graphs and their algorithms. In this thesis, we show that deciding whether the twin-width of a graph is at most 4 is an NP-complete problem. Indeed, we succeed in controlling the contraction sequence sufficiently to simulate a Boolean circuit. In particular, this reduction involves a construction that forces certain particular trigraphs to appear in the contraction sequence of a graph. This gives lower bounds on the difficulty of computing twin-width. In this thesis, we also seek to bound the twin-width of several classes of graphs. We show that the twin-width of the long subdivisions of a graph is at most 4. We also show the optimality of the upper bound on twin-width when treewidth is bounded. This construction is also generalized to other parameters such as oriented twin-width. Finally, we study approximation algorithms for bounded twin-width. For the Maximum Independent Set problem on graphs of bounded twin-width, we propose an O(1)-approximation algorithm in O() time. We then construct a scheme that improves the complexity of the algorithm at the cost of reducing the approximation factor. The result is an -approximation algorithm in polynomial-time. This method can also be applied to the Minimum Vertex Coloring problem and the Maximum Induced Matching problem.
Cette thèse porte sur l'étude de nouvelles décomposition de graphes, notamment la twin-width qui est un nouveau paramètre permettant de mesurer la complexité d'un graphe, défini en 2020 par Eun Jung Kim, Stéphan Thomassé, Rémi Watrigant et Édouard Bonnet. C’est un paramètre qui s’est révélé être important dans la compréhension de la structure des graphes et de leurs algorithmes. Dans cette thèse, on montre que, décider si la twin-width d’un graphe est au plus 4, est un problème NP-complet. On réussit en effet à contrôler suffisamment la séquence de contraction pour simuler un circuit booléen. Cette réduction comporte notamment une construction permettant de faire apparaître certain trigraphes particuliers dans la séquence de contraction d’un graphe. On obtient ainsi des bornes inférieures sur la difficulté de calculer la twin-width. Dans cette thèse, on cherche aussi à borner la twin-width de plusieurs classes de graphes. On montre ainsi que la twin-width des longues subdivisions d’un graphe est au plus 4. On montre aussi l’optimalité de la borne supérieure sur la twin-width à treewidth borné. Cette construction se généralise aussi à d’autres paramètres comme la twin-width orienté. Enfin on étudie les algorithmes d’approximation à twin-width borné. Pour le problème du Stable Maximum à twin-width borné, on propose un algorithme de O(1)-approximation en temps O(). On construit ensuite un schéma qui permet d’améliorer la complexité de l’algorithme au prix de diminuer le facteur d’approximation. On obtient une -approximation en temps polynomial. Cette méthode s’applique aussi au problème du coloriage minimum et à celui du couplage induit maximum.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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