One-shot inversion methods and domain decomposition
Méthodes d'inversion de type one-shot et décomposition de domaine
Résumé
Our main goal is to analyze the convergence of a gradient-based optimization method, to solve inverse problems for parameter identification, in which the corresponding forward and adjoint problems are solved by an iterative solver. Coupling the iterations for the three unknowns (the inverse problem parameter, the forward problem solution and the adjoint problem solution) yields the so-called one-shot inversion methods. Many numerical experiments showed that using very few inner iterations for the forward and adjoint problems may still lead to a good convergence for the inverse problem. This motivates us to develop a rigorous convergence theory for one-shot methods using a fixed small number of inner iterations, with a semi-implicit scheme for the parameter update and a regularized cost functional. Our theory covers a general class of linear inverse problems in the finite-dimensional discrete setting, for which the forward and adjoint problems are solved by generic fixed point iteration methods. By studying the spectral radius of the block iteration matrix of the coupled iterations, we prove that for sufficiently small descent steps the (semi-implicit) one-shot methods converge. In particular, in the scalar case, where the unknowns belong to one-dimensional spaces, we establish not only sufficient but even necessary convergence conditions on the descent step. Next, we apply one-shot methods to (linearized and then non-linear) inverse conductivity problems, and solve the forward and adjoint problems by domain decomposition methods, more specifically nonoverlapping optimized Schwarz methods. We analyze a domain decomposition algorithm that simultaneously calculates the forward and adjoint solutions for a given conductivity. By combining this algorithm with the gradient descent parameter update, we obtain a domain decomposition one-shot method that solves the inverse problem. We propose two discretized versions of the coupled algorithm, the second of which (in the case of the linearized inverse conductivity problem) falls into the abstract framework of our convergence theory. Finally, several numerical experiments are provided to illustrate the performance of the one-shot methods, in comparison with the classical gradient descent in which the forward and adjoint problems are solved using direct solvers. In particular, we observe that, even in the case of noisy data, very few inner iterations may still guarantee good convergence of the one-shot methods.
Notre objectif principal est d’analyser la convergence d’une méthode d’optimisation basée sur le gradient, pour résoudre des problèmes inverses d’identification de paramètres, dans laquelle les problèmes directs et adjoints correspondants sont résolus par un solveur itératif. Le couplage des itérations pour les trois inconnues (le paramètre du problème inverse, la solution du problème direct et la solution du problème adjoint) donne ce que l’on appelle les méthodes d’inversion de type one-shot. De nombreux tests numériques ont montré que l’utilisation de très peu d’itérations internes pour les problèmes directs et adjoints peut néanmoins conduire à une bonne convergence pour le problème inverse. Cela nous motive à développer une théorie de convergence rigoureuse pour les méthodes de type one-shot en utilisant un petit nombre fixe d’itérations internes, avec un schéma semi-implicite pour la mise à jour du paramètre et une fonction de coût régularisée. Notre théorie couvre une classe générale de problèmes inverses linéaires dans le cadre discret de dimension finie, pour lesquels les problèmes directs et adjoints sont résolus par des méthodes génériques d’itération de point fixe. En étudiant le rayon spectral de la matrice par blocs des itérations couplées, nous prouvons que pour des pas de descente suffisamment petits, les méthodes de type one-shot (semi-implicites) convergent. En particulier, dans le cas scalaire, où les inconnues appartiennent à des espaces à une dimension, nous établissons des conditions de convergence suffisantes et même nécessaires sur le pas de descente. Ensuite, nous appliquons des méthodes de type one-shot aux problèmes inverses de conductivité (linéarisés et puis non linéaires), et résolvons les problèmes directs et adjoints par des méthodes de décomposition de domaines, plus spécifiquement des méthodes de Schwarz optimisées sans recouvrement. Nous analysons un algorithme de décomposition de domaine qui calcule simultanément les solutions directe et adjointe pour une conductivité donnée. En combinant cet algorithme avec la mise à jour du paramètre par descente de gradient, nous obtenons une méthode one-shot de décomposition de domaine qui résout le problème inverse. Nous proposons deux versions discrétisées de l’algorithme couplé, dont la seconde (dans le cas du problème inverse de conductivité linéarisé) s’inscrit dans le cadre abstrait de notre théorie de convergence. Enfin, plusieurs expériences numériques sont fournies pour illustrer les performances des méthodes de type one-shot, en comparaison avec la méthode de descente de gradient classique dans laquelle les problèmes directs et adjoints sont résolus par des solveurs directs. En particulier, nous observons que, même dans le cas de données bruitées, très peu d’itérations internes peuvent toujours garantir une bonne convergence des méthodes de type one-shot.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|