Substitutive structures in combinatorics, number theory, and discrete geometry
Structures substitutives en combinatoire, théorie des nombres, et géométrie discrète
Résumé
This work aims to discover and develop links between three related but distinct mathematical domains: combinatorics on words, number theory and discrete geometry. From the point of view of combinatorics on words, we study finite and infinite words and morphisms, which act as maps on words. Substitutions are morphisms satisfying some additional properties. Namely, we focus on Sturmian and Arnoux–Rauzy words and on Sturmian morphisms. We provide a formula to determine both critical and asymptotic critical exponent of regular Arnoux–Rauzy words. With the help of this formula, we prove that the minimal critical and minimal asymptotic critical exponent among regular d-ary Arnoux–Rauzy words is attained by the d-bonacci word. We introduce a faithful representation of the special Sturmian monoid by 3×3 matrices with nonnegative integer entries, which enables us to tackle the question of the square roots of fixed points of morphisms in the special Sturmian monoid. As for the number theory, we study positional numeration systems for both nonnegative and negative integers: we define an analogue of the two’s complement notation for Z based on the sequence of Fibonacci numbers. We call it the Fibonacci complement numeration system and we study its properties with respect to addition. We recover this positional numeration system in another context of numeration systems which describe fixed and periodic points of substitutions as automatic sequences. We call these numeration systems Dumont– Thomas numeration systems for Z, we show that they are characterized by a particular total order and they extend naturally to Zd, d ≥ 1. The discrete geometry is present in the form of Wang tilings. Using the Fibonacci complement numeration system extended to Z2, we characterize a particular tiling of the plane as an automatic sequence.
Ce travail vise à découvrir et à développer des liens entre trois domaines mathématiques liés mais distincts : la combinatoire des mots, la théorie des nombres et la géométrie discrète. Du point de vue de la combinatoire des mots, nous étudions les mots finis et infinis et les morphismes, qui agissent comme des fonctions sur les mots. Les substitutions sont des morphismes qui satisfaisant certaines propriétés supplémentaires. Nous nous concentrons sur les mots sturmiens, les mots d’Arnoux-Rauzy et sur les morphismes sturmiens. Nous fournissons une formule pour déterminer l’exposant critique et l’exposant critique asymptotique de mots d’Arnoux–Rauzy réguliers. À l’aide de cette formule, il est possible de prouver que l’exposant critique minimal et l’exposant critique asymptotique minimal parmi les mots d’Arnoux–Rauzy réguliers d-aires sont atteints par le mot de d-bonacci. Nous introduisons une représentation fidèle du monoïde spécial de Sturm par des matrices 3 × 3 avec des entrées entières positives (y compris 0) qui ont une matrice d’incidence correspondante dans le coin supérieur gauche. À l’aide de cette représentation, nous abordons la question des racines carrées des points fixes des morphismes dans le monoïde spécial de Sturm. En ce qui concerne la théorie des nombres, nous étudions les numérations de position pour les nombres entiers positifs et négatifs: nous définissons un analogue de la notation du complément à deux pour Z en nous basant sur l’algorithme du complément à deux basé sur la séquence des nombres de Fibonacci. Nous l’appelons la numération du complément de Fibonacci pour Z et nous démontrons ses propriétés en ce qui concerne l’addition. Nous retrouvons la numération du complément de Fibonacci dans un autre contexte de systèmes de numération qui décrivent des points fixes et périodiques de substitutions. Nous appelons ces systèmes de numération systèmes de numération de Dumont-Thomas pour Z, nous montrons qu’ils sont caractérisés par un ordre total particulier et qu’ils peuvent être naturellement étendus à Zd, d ≥ 1. La géométrie discrète est présente sous la forme de pavages de Wang. En utilisant le système de numération du complément de Fibonacci étendu à Z2, nous caractérisons un pavage particulier du plan comme une séquence automatique.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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