Existence and optimization of the critical speed for travelling front solutions with convection term in the unbounded cylinder.
Existence et optimisation de la vitesse critique pour des ondes progressives avec un terme de convection dans le cylindre non borné
Résumé
For n > 1, we consider a reaction-diffusion equationut = ∆u + α(y)∇ · G(u) + f (u),in an unbounded cylinder Ω := R × D, where D ⊂ R^{n−1} is a smooth bounded domain, with a presence of a convection term, under both Neumann and Dirichlet boundary conditions on ∂Ω. For both types of boundary condition, we consider two different forms of convection term, namely : α(y)∇ · G(u) and ∇ · (α(y)G(u)). The reaction term f is “monostable”. In both Neumannand Dirichlet cases, we prove that there exists a critical speed c* in R such that there exists a travelling front solution of the form u(x, t) = w(x_1 − ct, y) with speed c if and only if c ≥ c*, where x_1 is the coordinate corresponding to the axis of the cylinder.The critical speed c* often plays an important role for monostable problems by characterizing the long-time behaviour of the initial value problem. The existence of travelling waves for all c ≥ c* is typical of monostable problems such as the prototype Fisher-KPP equation.We give a min-max formula for the speed c*. For both types of boundary conditions, we prove that c* is bounded below by a quantity c′ which is related to a certain eigenvalue problem, associated with the linearized problem around 0. Note that under Dirichlet boundary conditions, an extra assumption is needed to ensure that c′ exists, namely, f ′(0) has to be greater than the principal eigenvalue of thelinearized operator.We discuss two special cases where the equality c* = c′ holds. Under both Neumann and Dirichlet boundary conditions, the first special case is when G = (G_1, 0, · · ·, 0), assuming the so-called KPP condition for f and that α(y)G_1′(u) ≥ α(y)G_1'(0) for all y ∈ D and all u ∈ (0, 1). The second case is treated only under Neumann boundary conditions : when G′_1(0) = 0, assuming the KPP condition for f, and that α(y)G_1'(u) ≥ 0, for all y ∈ D and u ∈ (0, 1). Note that in that case, we give an explicit formula : c* = c′ = 2sqrt{f ′(0)}.Under Dirichlet boundary conditions, we highlight the influence of the domain D, the reaction term f and the convection term α(y)∇ · G(u) on the critical speed c*. In the special case where G = (G_1, 0, · · ·, 0), using that c* = c′, we use the eigenvalue problem related to c′ to establish some optimization results for c*.
Pour n > 1, on considère une équation de réaction-diffusionut = ∆u + α(y)∇ · G(u) + f (u), (0.1)dans un cylindre non borné Ω := R × D, où D ⊂ R^{n−1} est un domaine borné lisse, avec laprésence d’un terme de convection, sous les conditions au bord de Neumann et de Dirichletsur ∂Ω. Pour les deux types de conditions au bord, on considère deux différentes formes determe de convection : α(y)∇ · G(u) et ∇ · (α(y)G(u)). Le terme de réaction f est “monos-table”. Dans les deux cas Neumann et Dirichlet, on prouve qu’il existe une vitesse critiquec* in R telle qu’il existe une onde progressive solution de la forme u(x, t) = w(x_1 − ct, y) avecune vitesse c si et seulement si c ≥ c*, où x_1 désigne la coordonnée de l’axe du cylindre.La vitesse critique c* joue souvent un rôle important pour les problèmes monostables encaractérisant le comportement asymptotique du problème de valeur initiale. L’existenced’ondes progressives pour tout c ≥ c* est typique des problèmes monostables comme parexemple l’équation bien connue de Fisher-KPP.On donne une formule min-max pour la vitesse critique c*. Dans les deux cas, on prouveque c* est minorée par une quantité c′ qui est liée à un problème de valeurs propresassocié au problème linéarisé autour de 0. Remarquons que sous les conditions au bordde Dirichlet, une hypothèse supplémentaire est nécessaire afin d’assurer l’existence de c′.Plus précisément, f ′(0) doit être plus grand que la valeur propre principale de l’opérateurlinéarisé.On présente deux cas particuliers où l’on a l’égalité c* = c′. Sous les conditions au bordde Neumann et Dirichlet, le premier cas particulier est lorsque G = (G_1, 0, · · ·, 0), ensupposant la condition de KPP pour f et que α(y)G_1′(u) ≥ α(y)G_1'(0), pour tout y ∈ Det u ∈]0, 1[. Le second cas particulier est traité sous les conditions au bord de Neumann: lorsque G_1'(0) = 0, en supposant la condition de KPP pour f et que α(y)G_1'(u) ≥ 0,pour tout y ∈ D et u ∈]0, 1[. Dans ce cas particulier, on obtient une formule explicite :c* = c′ = 2sqrt{f ′(0)}.Sous les conditions au bord de Dirichlet, on met en avant l’influence du domaine D, duterme de réaction f et du terme de convection α(y)∇ · G(u) sur la vitesse critique c*. Dansle cas particulier où G = (G_1, 0, · · ·, 0), en utilisant l’égalité c* = c′, on utilise le problèmede valeurs propres lié à c′ afin d’obtenir des résultats d’optimisation pour c*.
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