Les systèmes hamiltoniens stochastiques ont été introduit par J-M. Bismut en 1981 dans son livre "mécanique aléatoire". Il pose les fondements de la mécanique stochastique telle qu'initiée par E. Nelson en 1966. Par ailleurs, le problème fondamental de la dynamique de H. Poincaré est celui de l'étude des perturbations déterministes des systèmes hamiltoniens intégrable. En suivant les idées de D. Mumford, on étudie les perturbations stochastiques des systèmes hamiltoniens intégrables. Le problème est de préciser les différences au niveau dynamique entre une perturbation de nature déterministe et une autre de nature stochastique. Un exemple est donné par le phénomène dit de la diffusion d'Arnold initiée par V.I. Arnold en 1964. Il conjecture qu'une instabilité globale doit se développer sur un temps exponentiellement long le long du réseau de résonnances. Le mécanisme initial introduit par V.I. Arnold se heurte à des difficultés majeures. Dans cette thèse, nous étudions numériquement le comportement de la diffusion d'Arnold dans le cadre stochastique pour la famille des hamiltoniens dits "squelettes" introduits par G. Zaslavski dans son livre "Hamiltonian Chaos and fractional dynamics" en 2005. Nous donnons à cette occasion une construction nouvelle des intégrateurs variationnels tels qu'introduits par J.E. Marsden et ses collaborateurs pour les systèmes hamiltoniens déterministes ou stochastiques.La thèse se compose de trois parties.La première donne une présentation alternative des intégrateurs variationnels tels qu'introduits par J.E. Marsden et M. West pour les systèmes hamiltoniens déterministes. Elle est basée sur les théories de plongement discrets. Ces théories reposent sur la mise en place de calcul différentiels et intégrales discrets d'un ordre d'approximation donné ainsi que sur l'extension du calcul des variations pour les fonctionnelles discrètes associées définis dans cette thèse. Nous donnons une comparaison complète entre les résultats obtenus par cette approche et la formulation classique de Marsden-West et Wendlandt dans le cas des intégrateurs variationnels déterministes d'ordre 1 et 2.La seconde partie développe des intégrateurs variationnels stochastiques. Deux approches sont proposées. La première repose sur une approximation de type Wong-Zakai des diffusions stochastiques et les intégrateurs variationnels construits dans la partie précédente. On obtient ainsi une formulation rigoureuse des intégrateurs discutés par L. Wang, J. Hong, R. Scherer et F. Bai en 2009. Une seconde approche repose sur une discrétisation directe du principe variationnel stochastique obtenu par J-M. Bismut pour les diffusions hamiltoniennes en utilisant une discrétisation des intégrales de Stratonovich. On généralise ainsi un premier travail dû à N. Bou-Rabee et H. Owhadi en 2008 lorsque les perturbations stochastiques dépendent seulement de l'espace des configurations.Dans la dernière partie, on étudie analytiquement et numériquement la structure des réseaux d'Arnold pour les systèmes hamiltoniens "squelettes". On démontre que le réseau d'Arnold couvre l'espace des phases et est connexe seulement pour les hamiltoniens squelettes d'ordre 3,4 et 6 et possède une symétrie cristallographique. On compare ensuite numériquement la diffusion d'Arnold lorsqu'une perturbation est considérée comme déterministe ou stochastique. Dans le cas déterministe, on observe que la diffusion est limitée en espace et très lente en temps comme attendu par le théorème de N. Nekhoroshev. Dans le cas stochastique, la diffusion couvre un domaine beaucoup plus large de l'espace des phases et se développe plus rapidement.