An Optimization Perspective on the Construction of Low-Discrepancy Point Sets
La construction d'ensembles de points à faible discrépance via des approches d'optimisation
Résumé
Discrepancy measures are metrics designed to quantify how well spread a point set is in a given space. Among these, the L∞ star discrepancy is arguably one of the most popular. Indeed, by the Koksma-Hlawka inequality~cite{Hlawka,Koksma}, when replacing an integral by the average of function evaluations in specific points, the error made is bounded by a product of two terms, one depending only on the function and the other on the L∞ star discrepancy of the points. This leads to a variety of applications, from computer vision to financial mathematics and to design of experiments where well-spread points covering a space are essential.Low-discrepancy sets used in such applications usually correspond to number theoretic designs, with a wide variety of possible constructions. Despite the high demand in practice, the design of these point sets remains largely the work of mathematicians, often more interested in finding asymptotic bounds than in adapting the point sets to the desired applications. This results in point sets that, while theoretically excellent, sometimes leave a lot to be desired for applications, in particular high-dimensional ones. Indeed, the constructions are not tailored to the many different settings found in applications and are thus suboptimal. Furthermore, not only do we not know how low the discrepancy of point sets of a given size in a fixed dimension can go, but often we do not even know the discrepancy of existing constructions. This leaves essential questions unanswered in the design of low-discrepancy sets and sequences. In this thesis, we tackle the problem of constructing low-discrepancy sets from a computational perspective. With optimization approaches applied in isolation or on top of existing sets and sequences, we provide a diverse set of methods to generate excellent low-discrepancy sets, largely outperforming the discrepancy of known constructions in a wide variety of contexts. In particular, we describe a number of examples such as provably optimal sets for very few points in dimension 2, or improved sets of hundreds of points in moderate dimensions via subset selection. Finally, we extend recent work on greedy one-dimensional sequence construction to show that greedy L2 construction of point sets provides excellent empirical results with respect to the L∞ star discrepancy.
Les mesures de discrépance sont une famille de mesures quantifiant l'uniformité d'un ensemble de points: sont-ils bien répartis dans l'espace (discrépance faible) ou concentrés par endroits (discrépance élevée)? Parmi ces mesures, la discrépance à l'origine L∞ joue un rôle primordial: elle permet de quantifier l'erreur faite lors de l'approximation d'une intégrale par une somme finie composée d'évaluations de la fonction en un ensemble de points. Ce résultat mène à de très nombreuses applications dans des domaines variés allant de la vision en informatique à la finance, sans oublier tout ce qui concerne le plan d'expérience (design of experiments), où des points bien répartis sont essentiels. Les points à faible discrépance utilisés dans ces applications sont issus d'approches mathématiques en théorie des nombres, avec de nombreuses séquences ou ensembles de points connus depuis plusieurs décennies. Malgré cela, ce sujet reste surtout le domaine de mathématiciens, souvent plus intéressés par les propriétés asymptotiques de ces points que leur utilisations en pratique. Il en résulte que les ensembles à faible discrépance, bien que très bons théoriquement, sont parfois moins bien que des points aléatoires pour certaines applications, particulièrement lorsque la dimension augmente. D'un point de vue plus qualitatif, malgré certaines bornes asymptotiques, nous ne savons pas précisément quelle est la limite inférieure pour la discrépance d'un ensemble de points d'une taille fixée. Or, ce type de question a un impact immédiat sur la qualité des résultats lors d'applications. Dans cette thèse, nous abordons le problème de la construction d'ensembles à faible discrépance d'un point de vue informatique, tout en obtenant de nombreux résultats empiriques sur la qualité de ces ensembles. Plutôt que de construire mathématiquement ces séquences, nous utilisons un ensemble de méthodes issues de l'optimisation, ainsi que les séquences existantes, pour obtenir de nouveaux ensembles de points. Nous montrons qu'il est possible d'obtenir des ensembles de points de bien meilleure discrépance à l'origine L∞ que ceux existant déjà, dans des dimensions variées. Enfin, nous présentons également une approche basée sur la discrépance à l'origine L2, pour montrer que son utilisation de manière gloutonne permet la construction d'une séquence extrêmement régulière pour la discrépance L∞, ouvrant la voie vers de nombreuses approches novatrices.
Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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