Individual and strategic decision under uncertainty : an algebraic and formal approach
Décision individuelle et stratégique sous incertitude : une approche algébrique et formelle
Résumé
Making a decision often involves a trade-off between benefits and risks. Several decision theories have been proposed to model these trade-offs, the best known being the expected utility theory, based on the use of probabilities. Many other approaches to the modeling of uncertainty, whether it arises from the variability of phenomena or from ignorance of them, rely on the use of capacities (or non-additive measures), such as imprecise probabilities, belief functions, possibility measures, probability intervals and so on. For each of these, one or more rules are used to model decision-making with respect to the type of information they describe. In this thesis, we propose a general algebraic model which captures all these theories as particular cases. This model is based on the use of a capacity, whether numerical or not, thanks to a universal decision rule that we call XEU. In particular, we propose to represent algebraic capacities by algebraic mass functions. We first apply the model to the usual theories, in a single-agent framework, and show that we can represent all the usual decision rules by an XEU. We then consider this model in the multi-agent framework of "strategic games", under complete and incomplete information. We check the validity of the approach before expressing the generalization of Howson and Rosenthal's theorem. This theorem enables the study of a game expressed in the algebraic framework using theoretical and algorithmic tools from classical game theory. We then turn to the Bel-Game model (incomplete-information games based on belief functions) proposed during this thesis, which constitute a particular instance of our general model. Finally, we formalize our algebraic approach in the Coq proof assistant. This certifies the majority of the results obtained and constitutes a reusable and modular library. This formalization is the union of two groups of works : the first one deals with capacities and decision theories in general, the second one formalizes the various proofs we propose for Howson and Rosenthal's theorem generalized to Bel-Games and to games of incomplete information in general.
Prendre une décision, c'est souvent faire un compromis entre les bénéfices et les risques. Plusieurs théories de la décision ont été proposées pour modéliser ces compromis, la plus connue étant celle de l'utilité espérée qui repose sur l'utilisation de la théorie des probabilités. Beaucoup d'autres approches pour modéliser l'incertitude, qu'elle provienne de la variabilité des phénomènes ou de l'ignorance qu'on en a, reposent sur l'utilisation de capacités (ou mesures non additives), telles que les probabilités imprécises, les fonctions de croyances, les mesures de possibilité, les intervalles de probabilité, etc. Pour chacune d'elles, une ou plusieurs règles permettent de modéliser la prise de décision au regard du type d'information qu'elles décrivent. Dans cette thèse, nous proposons un modèle algébrique général permettant de décrire les théories basées sur l'utilisation d'une capacité, qu'elle soit numérique ou non, grâce à une règle de décision universelle que nous appelons XEU. Pour cela, nous proposons en particulier de représenter les capacités algébriques par des fonctions de masses algébriques. Nous appliquons d'abord ce modèle aux théories usuelles, dans un cadre mono-agent, et montrons que nous pouvons représenter toutes les règles de décision usuelles par une XEU. Nous considérons ensuite ce modèle dans le cadre multi-agent appelé " jeux stratégiques ", sous information complète et sous information incomplète. Nous vérifions la pertinence du modèle dans ce cadre avant d'y exprimer une généralisation du théorème de Howson et Rosenthal. Ce théorème étendu permet d'étudier un jeu exprimé dans notre cadre algébrique avec les outils théoriques et algorithmiques provenant de la théorie des jeux classique. Puis nous détaillons un cas particulier de jeu à information incomplète basé sur les fonctions de croyance (les Bel-Games), que nous avons proposé durant cette thèse, et qui constituent une instance particulière du modèle général. Enfin, nous formalisons cette approche algébrique dans l'assistant de preuve Coq, ce qui certifie la majorité de nos résultats d'une part et constitue une bibliothèque modulaire réutilisable d'autre part. Cette formalisation est la réunion de deux groupes de travaux, l'un concernant les capacités et les théories de la décision en général, l'autre formalisant les différentes preuves que nous proposons pour le théorème de Howson et Rosenthal généralisé aux Bel-Games et aux jeux à information incomplète en général.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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