Combinatoire algébrique expérimentale
Résumé
L'expérimentation sur machine pour la combinatoire algébrique devient incontournable. Elle
permet par exemple de construire des objets mathématiques ayant certaines propriétés souhaitées
ou encore de conjecturer certains phénomènes qu’elle seule aura permis de voir émerger. Cette
approche est `a l’origine des différents travaux présentés ici, portant sur la théorie des tresses et
des nœuds, la combinatoire additive et la théorie de Ramsey.
La forme normale tournante est définie sur le monoïde de Birman-Ko-Lee et possède de
bonnes propriétés vis-à-vis de l’ordre des tresses. Elle permet de sélectionner un unique mot,
dit tournant, parmi tous les mots représentant une tresse donnée. Nous montrons alors que
l’ensemble des mots tournants forme un langage rationnel.
Depuis les travaux de F.A. Garside, nous savons que toute tresse positive peut être décrite
comme une suite finie de permutations. Grâce à la caractérisation locale de telles suites, nous
obtenons que leur combinatoire est obtenue à partir d’une certaine matrice d’adjacence. Dans le
cas classique, correspondant aux groupes de Coxeter de type A, il a été montré que le polynôme
caractéristique de la matrice de rang n divise celui de rang n + 1. Nous montrons un résultat
analogue pour les tresses de type B en utilisant l’algèbre de Hopf des permutations signées.
Le polynôme de Jones est un invariant des entrelacs. Nous savons depuis 2003 qu’il existe
une infinité d’entrelacs non triviaux avec au moins deux composantes qui ne sont pas détectés
par le polynôme de Jones. Cependant le cas des entrelacs `a une seule composante, correspondant
aux nœuds, est toujours ouvert. Nous montrons qu’il existe une infinité de nœuds premiers non
triviaux admettant un polynôme de Jones trivial modulo n’importe quelle puissance donnée
de 2.
Les semigroupes numériques sont des sous-ensembles des entiers naturels stables par addition, contenant 0 et de complément fini. L’ensemble des semigroupes numériques peut être
décrit à l’aide d’un arbre infini. Dans cet arbre les semigroupes numériques à distance g de
la racine sont tous les semigroupes de genre g, c’est-`a-dire ayant un complément de cardi-
nal g. En 2008, M. Bras-Amoros a formulé trois conjectures sur la suite ng des semigroupes
numériques à distance g de la racine de l’arbre. Nous montrons que l’une de ces conjectures est
satisfaite pour les semigroupes numériques génériques, dont la proportion parmi les semigroupes
numériques de genre g tend vers 1 avec g. Nous décrivons aussi un algorithme exploitant les capacités vectorielles des processeurs modernes afin d’explorer efficacement l’arbre des semigroupes
numériques. Nous avons ainsi obtenu que le nombre de semigroupes numériques de genre 70
est 1 607 394 814 170 158. Une des plus célèbres conjectures sur les semigroupes numériques est
sans doute celle de Wilf. Depuis les travaux de S. Eliahou, nous savons que la conjecture de
Wilf est satisfaite par les semigroupes génériques, la démonstration revient essentiellement `a
montrer qu’une certaine quantité $W_0$ est positive pour tous les semigroupes génériques. Nous
montrons ici que dans le cas des semigroupes numériques non génériques il est possible d’obtenir
une valeur négative de $W_0$ aussi petite que l’on souhaite.
Finalement, nous montrons qu’il n’existe pas de coloriage morphique à deux ou trois couleurs
évitant les triplets pythagoriciens monochromatiques et nous montrons comment une exploration
arborescente de Monte-Carlo imbriquée nous permet de construire une partition faiblement de
Schur en 6 couleurs de longueur 582, qui est le record actuel.
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