Combinatorial and probabilistic theorems on certain families of polytopes
Théorèmes combinatoires et probabilistes sur certaines familles de polytopes
Résumé
This thesis deals with several combinatorial and probabilistic aspects of convex polytopes, giving a particular focus on a family of polytopes, the zonotopes.The first part is dedicated to calculating the asymptotic equivalent of the number of integer zonotopes inscribed in a hypercube of side n and dimension d, for fixed d and for n going. Lattice zonotopes can be seen as a multidimensional generalization of integer partitions. The equivalent found involves the non-trivial zeros of the Riemann zeta function. Also, we compute the first moments of parameters such as the length of a random edge or the diameter of the graph of a zonotope for the uniform distribution.In the second part, we consider the entire zonotopes whose generators are in a cone and whose extremities are fixed. By moving the endpoints away from each other, such a uniform random zonotope satisfies, at any point tangent to a hyperplane, not only a central limit theorem but also a local limit theorem. In dimension 2, we prove a functional limit theorem for the boundary fluctuations of a uniform random polygon in a square whose side length tends to infinity. This limit shows a drift term that is a cubic curve.Finally, the third part deals with k-equiprojective polytopes, which are polytopes of dimension 3 of which any orthogonal projection not parallel to a face is a k-gon. We prove a characterization of equiprojective polytopes by their normal cones. This characterization makes it possible to construct equiprojective polytopes by Minkowski sum, and to calculate the parameter k. Thanks to this and to bounds on the number of combinatorial types of zonotopes, we give a lower bound on the number of k-equiprojective polytopes.\textbfKeywords:Zonotopes, Minkowski sum, lattice polytopes, enumeration, analytic combinatorics, Donsker's theorem, Brownian bridge, equiprojective polytopes, order types.
Cette thèse porte sur plusieurs aspects combinatoires et probabilistes des polytopes convexes, et autour d'une famille particulière de polytopes, les zonotopes. La première partie permet de calculer l'équivalent asymptotique du nombre de zonotopes entiers inscrits dans un hypercube de côté n et de dimension d, pour d fixé et pour n tendant vers l'infini. Les zonotopes entiers peuvent être vus comme une généralisation multidimensionnelle des partitions d'entiers. L'équivalent trouvé fait intervenir les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann. Sont aussi calculés les premiers moments de paramètres tels que la longueur d'une arête aléatoire ou le diamètre du graphe d'un zonotopes pour la distribution uniforme. Dans la deuxième partie, nous considérons les zonotopes entiers dont les générateurs sont dans un cône, et dont les extrémités sont fixées. En éloignant les extrémités l'une de l'autre, un tel zonotope aléatoire uniforme satisfait, en tout point tangent à un hyperplan, non seulement un théorème central limite mais aussi un théorème de limite local. En dimension 2, nous prouvons un théorème de limite fonctionnel pour les fluctuations de la frontière d'un polygone aléatoire uniforme dans un carré dont la longueur du côté tend vers l'infini. Cette limite fait apparaître un terme de dérive identifiée comme une courbe cubique. Finalement, la troisième partie porte sur les polytopes k-équiprojectifs, c'est-à-dire les polytopes de dimension 3 dont toute projection orthogonale non parallèle à une face est un k-gone. Nous donnons une caractérisation des polytopes équiprojectives par leur cônes normaux. Cette caractérisation permet de construire des polytopes équiprojectifs par somme de Minkowski, et de calculer le paramètre k. Grâce à cela et à des bornes sur le nombre de types combinatoires des zonotopes, nous donnons une borne inférieure sur le nombre de polytopes k-équiproject.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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