Dynamical localisation for the random Scattering Zipper model
Localisation pour le modèle de Scattering Zippers aléatoire
Abstract
This Ph.D. thesis establishes a proof of dynamical localisation for the random ScatteringZipper model, i.e. the fact that the probability of presence of wave packets decreasesexponentially with respect to their distance from the initial state. The Zipper Scattering operator is the product of two unitary operators per block, multiplicatively perturbed on the left and right by random unitary phases. This configuration produces a random 5-diagonal unitary operator per block. This operator models the concatenation of scattering events involving an even number of inputs and outputs. To demonstrate the localisation phenomenon for this operator, we use the method of fractional moments. We first prove the continuity and strict positivity of the Lyapunov exponents in a ring around the unit circle, which leads to the exponential decay of a power of the norm of the products of transfer matrices. We then establish an explicit formulation of the coefficients of the finite resolvent from the coefficients of the transfer matrices using Schur's complement. In addition, we show that when the Verblunsky coefficients are identical, invertible and of norm less than a constant, there is an exponential decay of the infinite resolvent, inducing an exponential decay of the eigenfunctions of the operator.
Cette thèse établit une démonstration de la localisation dynamique pour le modèle du Scattering Zipper aléatoire, c'est-à-dire le fait que la probabilité de présence des paquets d'ondes décroît de manière exponentielle par rapport à leur distance à l'état initial. L'opérateur de Scattering Zipper est le produit de deux opérateurs unitaires par bloc, perturbés multiplicativement à gauche et à droite par des phases unitaires aléatoires. Cette configuration produit un opérateur unitaire aléatoire et 5-diagonal par blocs. Cet opérateur modélise la concaténation d'événements de scattering impliquant un nombre pair d'entrées et de sorties. Pour démontrer le phénomène de localisation pour cet opérateur, nous avons recours à la méthode des moments fractionnaires. Nous prouvons d'abord la continuité et la stricte positivité des exposants de Lyapounov dans une couronne entourant le cercle unité, ce qui entraîne la décroissance exponentielle d'une puissance de la norme des produits de matrices de transfert. Nous établissons ensuite une formulation explicite des coefficients de la résolvante finie à partir des coefficients des matrices de transfert grâce au complément de Schur. De plus, nous démontrons que, lorsque les coefficients de Verblunsky sont identiques, inversibles et de norme inférieure à une constante, il y a décroissance exponentielle de la résolvante infinie, induisant ainsi la décroissance exponentielle des fonctions propres de l'opérateur.
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