Risk measures in finance, Backtesting, Sensitivity and Robustness
Métriques de risque en Finance, Backtesting, Sensibilité, Robustesse
Résumé
In Chapter 1, we focus on two time transformations: the time-translation and the time-scaling and on the related properties called the stationarity and the self-similarity. We prove the stationarity and self-similarity properties of the processes first in a the very general framework of the Hilbert spaces; then in a the more specific framework of the the Gaussian Hilbert space where the properties are proved in distribution (weak sense) and in a trajectory sense (strict sense). We also provide examples of such processes called standard Brownian motion and fractional Brownian motion (fBm), in the univariate and multivariate frameworks (mfBm). In Chapter 2, we propose to describe price trajectories using fractional geometric Brownian motions. This allows adding correlations between logarithmic returns to express long-range dependency. Logarithmic returns are then described using self-similar Gaussian processes with stationary and correlated increments, the fBm's and mfBm's. In this framework, risk measures that are based on the loss distribution, can then be accurately predicted taking into account the long-range dependency. We focus on predicting the most commonly used risk measure by regulators, called Value-at-Risk (VaR). We introduce a model that provides a Gaussian approximation of Value-at-Risk (VaR) for the assets portfolio under fractional dynamics (mfBm). We provide a quantification of the error of approximation and we carry out backtesting experiments on simulated and market data. In Chapter 3, we propose to model the loss distribution with a heavy-tailed distribution that better takes into account the extreme events, called the Pareto distribution that presents interesting properties of scaling and stability by conditioning and to replace VaR by Expected-Shortfall which is more sensitive to the tail risk. The objective is to explore non-asymptotic robust methods for estimating ES in heavy-tailed distributions such that the Median-of-Means, the Trimmed-Means, and the Lee-Valiant estimators that we compare to the empirical mean estimator (asymptotic). We study their bias and their convergence rate.
Dans le Chapitre 1, nous étudions deux transformations temporelles : la translation et le changement d'échelle de temps ainsi que les propriétés associées, la stationnarité et l'auto-similarité. Nous prouvons d'abord les propriétés de stationnarité et d'auto-similarité des processus dans le cadre très général des espaces de Hilbert puis dans le cadre plus spécifique de l'espace de Hilbert Gaussien où les propriétés sont prouvées en distribution (au sens faible) et en un sens trajectoriel (au sens strict). Des exemples de tels processus comme le mouvement Brownien et mouvement Brownien fractionnaire (fBm) sont fournis, dans les cadres univariés et multivariés (mfBm). Dans le Chapitre 2, nous décrivons les trajectoires de prix en utilisant des mouvements Browniens géométriques fractionnaires. Cela permet d'ajouter des corrélations entre les rendements logarithmiques pour exprimer la dépendance à long terme. Les rendements logarithmiques sont alors décrits par des processus Gaussiens auto-similaires à accroissements stationnaires et corrélés, les fBm's et mfBm's. Dans ce cadre, les mesures de risque basées sur la distribution des pertes sont alors prédites avec précision en tenant compte de la dépendance à long terme. Nous considérons de la mesure de risque la plus couramment utilisée par les régulateurs, la Valeur-à-Risque (VaR). Nous introduisons un modèle qui fournit une approximation Gaussienne de la VaR pour un portefeuille d'actifs sous dynamiques fractionnaires (mfBm). Nous fournissons une quantification de l'erreur d'approximation et nous effectuons un rétrotest sur des données simulées et de marché. Dans le Chapitre 3, nous proposons de modéliser la distribution des pertes avec une distribution à queue lourde qui prend mieux en compte les événements extrêmes, appelée la distribution de Pareto qui présente des propriétés intéressantes de changement d'échelle et de stabilité par conditionnement. Nous remplaçons la VaR par l'Expected-Shortfall (ES), plus sensible au risque de queue. Nous proposons des méthodes robustes non-asymptotiques pour estimer l'ES dans des distributions à queues lourdes telles que les Médianes-des-Moyennes, les Moyennes-Élaguées, et l'estimateur de Lee-Valiant que nous comparons à l'estimateur de moyenne empirique (asymptotique). Nous étudions leur biais et leur taux de convergence.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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