Exploration of the structure of sample for Monte Carlo applications
Exploration de la structure des échantillons pour les applications de Monte Carlo
Résumé
Numerically computing a function integral is an essential task for many applications in computer science.Be it in finance, geometry, physical simulations and many other domains.However, classical numerical methods (Newton, Simpson), require a number of function evaluations that grows exponentially with the dimension.Monte Carlo methods have been introduced in order to palliate this issue.They estimate the integral as the mean of randomly positioned evaluations of the function.The choice of these positions is crucial to a good convergence of the estimation.Many quality measures exist to qualify point sets with each their own strength and weaknesses depending on applications.In this thesis, we propose efficient methods to optimize these quality measures and adapt them to the needs of diverse applications.We first interested ourselves in optimal transport which is a precious tool to generate samples but which presents computational issues in high dimensions.Based on the recent advances in the sliced formulation of optimal transport, we put together an efficient sampler generating samples of high quality which was demonstrated in rendering applications.We then interested ourselves in the construction of low discrepancy samples, a well-liked quality measure for the strength of the theorems linking it to integration and for the elegant algebraic structure minimizing it.These structures have been built in an abstract setting and thus lack properties required by applications that also need a "projective" uniformity.Starting from the well-known Sobol' construction we created a new high-dimensional sampler providing a perfect 2D uniformity for all pairs of consecutive dimensions.This property has long been judged impossible to attain and provides an extra boost of quality to renderings.However, projective uniformity on consecutive dimensions is only interesting in a few applications.Using the theoretical proof of the properties of our previous sampler we were able to design a solver that can generate low discrepancy point sets with any targeted and theoretically possible projective property.This work is based on a new approach of fundamental theorems of low discrepancy constructions from the linear algebra point of view instead of the classical combinatorial one.All these results led to three publications at SIGGRAPH conferences, one at MCQMC and also new research perspectives discussed in this thesis.
Calculer numériquement l'intégrale d'une fonction est une tache essentielle à de nombreuses applications en informatique. Que ce soit dans la finance, la geometrie, les simulations physiques et bien d'autres domaines. Cependant les méthodes numeriques classiques (Newton, Simpson) requièrent un nombre d'évaluation de la fonction qui croit exponentiellement avec la dimension de celle ci. Les méthodes de Monte Carlo ont été introduites afin de palier à ce problème. Elles estiment l'intégrale par la moyenne d'évaluation de la fonction à des positions aléatoirement choisies. Le choix de ces positions est crucial à la bonne convergence de l'estimateur. De nombreuse mesure de qualité existent pour qualifier des échantillons avec chacunes des forces et des faiblesses selon les applications. Dans cette thèse nous proposons des méthodes efficaces pour optimiser ces mesures de qualité et les adapter au besoin de diverses applications. Nous nous sommes d'abord intéressés au transport optimal qui est un outil précieux pour la génération d'échantillons mais qui présente de gros problèmes de performance de calcul en haute dimension. En nous basant sur les récentes avancées sur la formulation par tranche du transport optimal, nous avons mis en place un échantilloneur efficace proposant des points de haute qualité que nous avons démontrée dans des applications de rendu d'image. Nous nous sommes ensuite intéressé a la construction d'échantillons de basse discrépance, une mesure de qualité très appréciée des théoriciens pour la puissance des théorèmes la liant a l'intégration et pour les élégantes structures algébriques générant des échantillons la minimisant. Ces structures ont été construite dans un cadre abstrait de toute application et manquent donc de propriétés propres aux applications tels que le rendu qui demandent également une uniformité dite projective. En nous basant sur la populaire construction de Sobol' nous avons créé un echantillonneur en haute dimension proposant une uniformité 2D parfaite pour toutes les paires consécutives de dimensions. Cette proprité a longtemps été jugé impossible à atteindre et fourni un gain de qualité important au rendu d'image. Cependant la structure uniforme sur les paires consécutive est importante en rendu mais les demandes peuvent être autres pour différentes applications. En nous basant sur la preuve des propriétés de notre précédente contribution, nous avons pu mettre en place un solveur capable de générer des points de basse discrépance ayant des propriété projective souhaitée. Ces travaux se sont basé sur une revisite des théorèmes fondateurs des constructions basse discrépance dans une conception d'algèbre linéaire plutôt que dans la traditionelle vision combinatoire. Tous ces résultats ont donné lieu a trois publications dans la conférence SIGGRAPH et une à la conférence MCQMC ainsi qu'à de nouvelles perspectives de recherche dans leur sillage qui sont présentées dans ce manuscrit.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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