Sub-Finsler metrics in dimension 3
Les métriques sous-Finslériennes en dimension 3
Résumé
In this thesis, we study the local geometry of L1 sub-Finsler structures in dimension 3. Locally, this problem can be formulated as a minimum time problem for the control systemwhere (f,g) are vector fields, such that {f,g,[f,g]} is a basis of R3 around a point q0, and the controls u1,u2 are measurable functions such as |u1(t)|+|u2(t)|≤1 for all t. We study the following geometric objects: small spheres, short geodesics, conjugate locus, cut locus. Under the assumption that the sub-Finsler metric is compatible with a sub-Riemannian metric, we can write a normal form for the vector fields f,g and define seven invariants of the metric, called A,C1,C2,D1, D2,E1,E2, and give a description of the "upper cap" of the small spheres, in the non-generic case where C1=0, the other invariants are non-zero.
Dans cette thèse, nous étudions la géométrie locale des structures sous-Finslériennes de type L1 en dimension 3. Localement, ce problème peut être formulé comme un problème du temps minimum pour le système de contrôleoù (f,g) sont des champs de vecteurs, tels que {f,g,[f,g]} est une base de R3 autour d’un point q0, et les contrôles u1,u2 sont des fonctions mesurables telles que |u1(t)|+|u2(t)|≤1 pour tout t. Nous étudions les objets géométriques suivants : petites sphères, géodésiques courtes, lieu conjugué, lieu de coupure. Sous l’hypothèse que la métrique sous-Finslérienne soit compatible avec une métrique sous-Riemannienne, nous pouvons écrire une forme normale pour les champs de vecteurs f,g et définir sept invariants de la métrique, nommés A,C1,C2,D1,D2,E1,E2, et donner une description de la « calotte supérieure » des petites sphères, dans le cas non-générique où C1=0, les autres invariants non-nuls.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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