Structural and algorithmic aspects of (multiple) interval graphs
Aspects algorithmiques et structurels des graphes d'intervalles (multiples)
Résumé
Multiple interval graphs are a well-known generalization of interval graphs, where each vertex of a graph is represented by a d-interval (the union of d intervals) for some natural number d > 1, and there exists an edge between two vertices if and only if their corresponding d-intervals intersect. In particular, a d-interval graph is unit if all the intervals on the representation have unit length. In this thesis, we study unit d-interval graphs from a structural and an algorithmic perspective. In the first part, we tryto generalize Roberts characterization of unit interval graphs, which states that a graph is unit interval if and only if it is interval and it does not contain the complete bipartite graph K1,3 as an induced subgraph. Then, we move on to studythe complexity of recognizing unit multiple interval graphs. We prove that given a graph G it is NP-hard to determine whether G is a unit d-interval graph, and then extend this hardness result to other subclasses of unit d-interval graphs. Inthe last part of this manuscript, we focus on the PIG-completion problem, where given an interval graph G, we are asked to find the minimum number of edges that we need to add to G so that it becomes a proper interval graph. We obtain apolynomial algorithm when G contains a vertex that is adjacent to every other vertex of the graph, and an XP algorithm parameterized by a structural property of the graph.
Les graphes d’intervalles multiples sont une généralisation bien connue des graphes d’intervalles, où chaque sommet d’un graphe est représenté par un d-intervalle (l’union de d intervalles) pour un certain nombre naturel d > 1, et il existe une arête entre deux sommets si et seulement si leurs d-intervalles correspondants se croisent. En particulier, un graphe de d-intervalles est unitaire si tous les intervalles de la représentation ont une longueur unitaire. Dans cette thèse, nous étudions les graphes de d-intervalles unitaires d’un point de vue structurel et algorithmique. Dans la première partie, nous essayons de généraliser la caractérisation de Roberts des graphes d’intervalles unitaires, qui affirme qu’un graphe est un graphe d’intervalles unitaire si et seulement s’il est un graphe d’intervalles et ne contient pas le graphe biparti complet K1,3 comme sous-graphe induit. Ensuite, nous passons à l’étude de la complexité de la reconnaissance des graphes d’intervalles multiples unitaires. Nous prouvons que, étant donné un graphe G, il est NP-difficile de déterminer si G est un graphe de d-intervalles unitaires, et nous étendons ensuite ce résultat de difficulté à d’autres sous-classes de graphes de d-intervalles unitaires. Dans la dernière partie de ce manuscrit, nous nous concentrons sur le problème de PIG-completion, qui étant donné un graphe d’intervalles G, demande de trouver le nombre minimum d’arêtes à ajouter à G pour qu’il devienne un graphe d’intervalles unitaire. Nous obtenons un algorithme polynomial lorsque G contient un sommet adjacent à tous les autres sommets du graphe, et un algorithme XP paramétré par une propriété structurelle du graphe.
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