Méthodes de Monte Carlo multi-niveaux pour l'estimation de paramètres statistiques de champs discrétisés en géosciences - TEL - Thèses en ligne
Thèse Année : 2024

Multilevel Monte Carlo methods for the estimation of statistics of discretized fields in geosciences

Méthodes de Monte Carlo multi-niveaux pour l'estimation de paramètres statistiques de champs discrétisés en géosciences

Jérémy Briant
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1484771
  • IdRef : 282380728

Résumé

Variance reduction multifidelity methods for the estimation of statistics are increasingly used in more domains as an improvement over the classical Monte Carlo method. These methods were originally designed to estimate scalar statistics. However, in some applications, in geosciences for example, the quantities of interest which statistics we want to estimate can be random vectors or random fields. In the case of a random vector which represent a discretized field, using a multifidelity estimator is not straightforward, especially if the inputs and outputs of the different models do not have the same dimension among the different fidelity levels. Transfer operators between the levels need to be introduced.This thesis is about the adaptation of the multilevel Monte Carlo (MLMC) estimator for the estimation of discretized fields in geosciences and the analysis of the transfer operators, allowing to choose operators that reduce the variance of the MLMC.A spectral analysis of the MLMC estimator is performed to better understand the effects of the transfer operators. Numerical experiments on simplified problems show that the MLMC deteriorates the estimation of high frequency components of a discretized field compared to a Monte Carlo estimator. A theoretical analysis on a specific class of problems, similar to analysis developed for multigrid methods, allows for a better understanding of the disparities in the MLMC estimation of the different components of a discretized field. Following those results, the transfer operators are modified to include a filtering step inspired from multigrid methods. Adding filters leads to a better estimation of low and high frequency components, and to a decrease in the total variance of the estimator.The use of methods similar to the multilevel best linear unbiased estimator (MLBLUE) can help in choosing the transfer operators that reduce the variance of the estimator. Those improvements were applied to the estimation of the discretized variance field of a diffusion-based covariance operator. Numerical experiments support the conclusions of the theoretical analysis on a more complex problem and demonstrates the improvements brought by the proposed estimator compared to a crude MLMC.This research work contributes to expand the range of MLMC applications to other domains, expecially geosciences, and offer a better understanding of the method by establishing links with multigrid methods. It also allows for improvements of the MLMC estimator by highlighting the importance of the transfer operator choice.
Les méthodes de réduction de variance multi-fidélités pour l'estimation statistique sont utilisées dans de plus en plus de domaines comme une amélioration par rapport à la méthode Monte Carlo. Dans leur forme originale, elles sont conçue pour estimer des paramètres statistiques scalaires. Cependant, dans certaines applications, par exemple en géosciences, les quantités d'intérêt dont on souhaite estimer les paramètres statistiques peuvent être des vecteurs ou des champs aléatoires. Dans le cas d'un vecteur aléatoire représentant un champ aléatoire discrétisé, l'utilisation d'un estimateur multi-fidélité n'est pas triviale, notamment si les entrées et sorties des différents modèles n'ont pas les mêmes dimensions sur les différents niveaux de fidélité. Des opérateurs de transfert entre les différents niveaux doivent alors être introduits. Cette thèse porte sur l'adaptation de l'estimateur Monte Carlo multi-niveaux (MLMC) à l'estimation de champs discrétisés en géosciences et sur l'analyse des opérateurs de transfert, permettant le choix d'opérateurs qui réduisent la variance du MLMC.Afin de mieux comprendre l'effet des opérateurs de transfert, une analyse spectrale de l'estimateur MLMC est proposée. Des expériences numériques sur des problèmes simplifiés ont mis en évidence que le MLMC déteriore l'estimation des composantes hautes fréquences d'un champ discrétisé comparé à un simple estimateur Monte Carlo. Une analyse théorique portant sur une classe de problèmes spécifique, similaire aux analyses développées pour les méthodes multigrilles, a permis une meilleure compréhension des disparités dans l'estimation, par MLMC, des différentes composantes d'un champ discrétisé. Ces différents résultats nous ont conduit à modifier les opérateurs de transfert utilisés afin d'y ajouter une étape de filtrage inspirée des méthodes multigrilles. L'ajout de filtres permet d'améliorer l'estimation des composantes hautes et basses fréquences, réduisant ainsi la variance totale de l'estimateur. L'utilisation de méthodes de type multilevel best linear unbiased estimator (MLBLUE) a permis de mieux choisir les opérateurs de transfert et les filtres en vue de réduire la variance de l'estimateur. Ces différentes améliorations ont été appliquées à l'estimation de la variance d'un champ discretisé obtenu par application d'un opérateur de covariance basé sur la diffusion. Les expériences numériques ont pu confirmer les résultats théoriques sur un problème plus complexe et mettre en évidence les améliorations apportées par rapport à un simple MLMC.Cette recherche contribue à élargir les applications du MLMC à d'autres domaines, notamment les géosciences, et offre une meilleure compréhension de la méthode grâce aux liens tissés avec les méthodes multigrilles. Elle permet également d'améliorer l'estimateur MLMC en soulignant l'importance du choix des opérateurs de transfert.
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04868031 , version 1 (06-01-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04868031 , version 1

Citer

Jérémy Briant. Méthodes de Monte Carlo multi-niveaux pour l'estimation de paramètres statistiques de champs discrétisés en géosciences. Mathématiques générales [math.GM]. Université de Toulouse, 2024. Français. ⟨NNT : 2024TLSEP105⟩. ⟨tel-04868031⟩
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