Thèse Année : 2022

Modular Galois representations and linear forms in abelian logarithms

Représentations galoisiennes modulaires et formes linéaires de logarithmes abéliens

Résumé

In this thesis, we study the properties of the residual Galois representations attached to modular forms, and the theory of linear forms in logarithms over abelian varieties. These are two distinct parts of number theory but they recently had joint application in the context of the resolution of Diophantine problems.In the first part of the thesis, we are interested in the problem of the distance between a strict vector subspace of the tangent space of an abelian variety, and a logarithm of a rational point of this variety. When the logarithm does not lie in this vector subspace, we obtain two lower bounds for this distance, entirely explicit in the invariants associated to the data. The first one has a hypothesis on the logarithm (common in this context) and is in the continuity of the work of the domain. Our second lower bound gets rid of the hypothesis to simply impose that the logarithm does not lie in the subspace.The second part of the thesis study the images of the residual Galois representations attached to modular forms. The first results on these questions come back to the work of Serre and Swinnerton Dyer in the eighties. They had been completed by Ribet first in 1975, then in 1985. Theses result are however not explicit. In work published in 2014, Billerey and Dieulefait obtained the firsts explicit results for a general level, but only for modular forms with trivial character. Using results of Billerey and Menares of 2018, this hypothesis has been removed in this manuscript. The second question we are interested in the second part of the thesis is the following. Let f be a newform of weight k?2, level N?1, and arbitrary character. From the already mentioned results, we know that there exist only finitely many prime ideals of the field of coefficients of f for which the residual representation is reducible or has dihedral projective image. However, these results do not allow to determine explicitly these prime ideal, only to bound there residue characteristic in terms of the weight and the level. The goal is therefore to characterise these finite sets. Our approach offers an algorithmic solution to this question consisting in a number of congruences, and implement it in PARI/GP. Our techniques are based on the knowledge of local modular representations and the use of appropriate degeneracy maps. They allow us to minimise the parameters of the spaces of modular forms in which we apply Sturm bounds, and enabling us to certify the reducibility and the dihedrality of a representation associated to a modular form, even for large values of N and k.

Les travaux de cette thèse portent sur l’étude des propriétés des représentations galoisiennes attachées aux formes modulaires et sur la théorie des formes linéaires de logarithmes abéliens. Il s’agit de deux thématiques distinctes de la théorie des nombres mais qui ont récemment convergé, dans le cadre de l’approche modulaire, vers la résolution de problèmes diophantiens.Dans une première partie de thèse, nous nous intéressons au problème de la distance qui sépare un sous-espace vectoriel strict de l’espace tangent d’une variété abélienne d’un logarithme d’un point rationnel de cette variété. Lorsque le logarithme n’appartient pas au sous-espace, nous avons obtenu deux types de minoration de cette distance, entièrement explicites en les invariants associés aux données. L’une comporte une hypothèse sur le logarithme (hypothèse usuelle dans ce contexte) et elle s’inscrit dans la continuité des travaux déjà connus dans le domaine. L’autre minoration supprime l’hypothèse pour simplement la remplacer par le fait que le logarithme ne doit pas appartenir au sous-espace.La seconde partie de la thèse porte sur des problèmes relatifs aux images des représentations galoisiennes résiduelles associées aux formes modulaires. Les premiers résultats sur ces questions remontent aux travaux de Serre et Swinnerton-Dyer dans les années 1960. Ils ont ensuite été complétés par Ribet en 1975 puis en 1985. Ces derniers énoncés ne sont en revanche pas explicites. Dans un travail publié en 2014, Billerey et Dieulefait ont obtenu les premiers résultats explicites en niveau quelconque. Cependant, ceux-ci ne portaient que sur les formes de caractère trivial. À l’aide de résultat de Billerey et Menares de 2018, la généralisation de ces résultats a pu être accomplie dans ce manuscrit. La seconde question à laquelle nous répondons dans la seconde partie de ce manuscrit est la suivante. Soit f une newform de poids k?2, de niveau N?1 et de caractère quelconque. D’après les résultats mentionnés précédemment, on sait qu’il n’existe qu’un nombre fini d’idéaux premiers du corps des coefficients de f pour lesquels la représentation résiduelle associée est réductible ou a une image projective dihédrale. Cependant, ces résultats ne permettent pas de déterminer concrètement les idéaux premiers qui interviennent, mais seulement de borner leur caractéristique résiduelle en fonction du poids et du niveau. L’objectif est donc de déterminer explicitement ces ensembles finis. Notre approche propose une solution algorithmique à cette question basée sur la vérification d’un nombre fini de congruences et l’implémente dans le logiciel PARI/GP. Nos techniques, qui reposent sur une connaissance fine des représentations modulaires locales et l’utilisation d’applications de dégénérescence bien choisies, ont permis de minimiser les paramètres (poids, niveau) des espaces de formes modulaires dans lesquels appliquer les bornes de Sturm, rendant ainsi possible la certification de la réductibilité et de la dihédralité d’une représentation associée à une forme modulaire y compris pour des grandes valeurs des paramètres (N,k).

Fichier principal
Vignette du fichier
2022UCFAC133_PEAUCELLE.pdf (1.81 Mo) Télécharger le fichier
Origine Version validée par le jury (STAR)
Licence

Dates et versions

tel-05153604 , version 1 (09-07-2025)

Licence

Identifiants

  • HAL Id : tel-05153604 , version 1

Citer

Baptiste Peaucelle. Modular Galois representations and linear forms in abelian logarithms. Commutative Algebra [math.AC]. Université Clermont Auvergne, 2022. English. ⟨NNT : 2022UCFAC133⟩. ⟨tel-05153604⟩
349 Consultations
386 Téléchargements

Partager

  • More