Local structure in combinatorics : reconstruction, saturation, spreadness and universality
Structures locales en combinatoire : reconstruction, saturation, dispersion et universalité
Résumé
This thesis explores local structures in combinatorics, focusing on understanding how local configurations influence the global properties and structures of combinatorial objects. This thesis is divided into four parts, each investigating different problems related to local structures: distance reconstruction, poset saturation, spread embedding, and universal structures. In the chapter related to distance reconstruction, we seek to reconstruct an unknown graph using local information. We only have access to an oracle providing the shortest path distances between pairs of vertices. We study this problem for different classes of graphs, improving both the best-known lower bounds and upper bounds in various cases. In particular, we provide an optimal algorithm for reconstructing trees and a near-optimal algorithm for reconstructing graphs without long induced cycles. Then, we study poset saturation, introduced by Katona and Tarjan in 1981. This concept extends Turán’s seminal work in extremal graph theory. A P-saturated family is a maximal family that avoids any substructure locally isomorphic to P (i.e., avoids P as an induced subposet). We study the saturation number of a poset P, defined as the minimum size of a P-saturated family included in the hypercube of dimension n. Despite substantial work on this problem in recent years, the saturation number is only known exactly for small posets, and its possible behaviors are still largely unknown. In this thesis, we will show that an extension of a lemma from Lehman and Ron allows us to compute exactly the saturation number of the antichain of size k. We also prove the first general upper bound on the possible behavior of the saturation number for any poset P. In the chapter on spreadness, we study the distribution of spanning trees in dense graphs. It might seem, at first, far from local, as a “spanning” structure is by definition global, but the key technique we developed to construct these global spanning structures goes through the subdivision into multiple local substructures. Via this novel method, we are able to give a simpler and more flexible proof of the existence of spread embeddings for bounded-degree trees. In particular, our approach does not use Szemerédi’s Regularity Lemma. Finally, we study universal structures. Given a family F of combinatorial objects and an integer n, another object U is said to be universal if it contains every element of F of size n as a local substructure. We call such a structure "faithful" when U is also part of F. In this chapter, we study the minimum size of faithful universal graphs for minor-closed classes of graphs as well as the size of universal posets for the family of all posets.
Cette thèse explore les structures locales en combinatoire. Elle se concentre sur l’influence de sous-structures locales sur les propriétés globales des objets étudiés. Elle est divisée en quatre parties, chacune examinant un problème différent sous le prisme de leur sous-structures locales: la reconstruction via oracle de distance, la saturation de posets, la dispersion pour les plongements, et les structures universelles. Dans le chapitre consacré à la reconstruction par oracle de distance, on cherche à reconstruire un graphe inconnu à l’aide d’informations locales. On suppose uniquement l’accès à un oracle fournissant la distance d’un plus court chemin entre deux sommets choisis. Le problème est étudié pour différentes classes de graphes et nous améliorons à la fois les meilleures bornes inférieures et/ou supérieures connues. En particulier, dans ce manuscrit nous proposons un algorithme optimal pour la reconstruction des arbres et un algorithme quasi-optimal pour la reconstruction des graphes sans longs cycles induits. Dans un second temps, nous étudions la saturation de posets, introduite par Katona et Tarjan en 1981. Ce concept généralise les travaux de Turán en théorie extrémale des graphes. Une famille est P-saturée si elle est maximale et qu’elle évite toute sous-structure localement isomorphe à P (c’est-à-dire qu’elle évite P comme sous-poset induit). Nous nous intéressons au "nombre de saturation" d’un poset P, défini comme la taille minimale d’une famille P-saturée incluse dans l’hypercube de dimension n. Malgré des avancées significatives sur ce problème ces dernières années, le nombre de saturation n’est connu exactement que pour de petits posets, et il reste largement incompris. Dans cette thèse, nous explicitons, grâce à une généralisation d’un lemme de Lehman et Ron, la valeur exacte du nombre de saturation de l’antichaîne de taille k. Nous établissons également la première borne supérieure générale sur les valeurs possible du nombre de saturation pour tout poset P. Dans le chapitre sur les “plongements dispersés”, nous étudions la répartition des arbres couvrants dans les graphes denses. À première vue, ce sujet peut sembler éloigné de l’axe globale de la thèse, les structures locales, puisqu’une structure “couvrante” est par définition globale. Cependant, la technique clé que nous développons dans ce manuscrit pour construire ces structures couvrantes repose sur une subdivision en plusieurs sous-structures locales. Grâce à cette nouvelle méthode, nous obtenons une démonstration plus simple et plus flexible de l’existence de "plongements dispersés" pour les arbres de degré borné. En particulier, notre approche ne fait pas appel au lemme de régularité de Szemerédi. Enfin, nous étudions les structures universelles. Étant donné une famille F d’objets combinatoires et un entier n, un autre objet U est dit universel s’il contient chaque élément de F de taille n comme sous-structure locale. On appelle une telle structure “fidèle” lorsque U appartient également à F. Dans ce chapitre, on s’intéresse à la taille minimale des graphes universels "fidèles" pour les classes de graphes closes par mineurs ainsi qu’à la taille de posets universels pour la famille contenant tous les posets.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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