Thèse Année : 2025

Numerical Simulation of Red Blood Cell Electrodeformation

Simulation numérique de l'électrodéformation des globules rouges

Résumé

This dissertation is concerned with the numerical simulation of physical systems that can be described as capsules enclosed by an elastic membrane. Such objects constitute a model that is often adopted in material sciences and bioengineering to emulate the processes involving colloidal particles and biological cells. One important example is the modelisation of the flow of red blood cells. More in particular, a focus is put on the mechanical effect of electric field on the membrane of a soft interface between fluid phases with contrasting electric properties. This enquiry finds applications in the context or cytometers based on impedance measurements or to characterize the rheology of capsule suspensions. The mathematical modelisation of this physical system and the goal of realizing a numerical simulation leads to a problem of general interest in numerical analysis: the approximation of PDEs featuring internal interface across which data are discontinuous. Interface problems of this type arenubiquitous in models for physics and engineering. Representing jump conditions and evolution of interfaces is a fundamental task for a vast category of models. Interface problems arise when considering multiple phase flows, phase transitions and fissure propagation for example. Another domain in which interfaces play an important role is biomechanics. In particular this is true when considering the dynamics of biological membranes. The leading motivation for this work deals with the simulation of the behavior of human red blood cells subject to electric fields. The interaction between human erythrocytes and electric fields is an important aspect when considering the characterization of blood analysis devices. Apart from being of the utmost relevance for many different physical models, interface problems also reserve important mathematical challenges. An interface is often the region of the physical domain where the most valuable information is stored, yet it is the region where the most important numerical errors are introduced. Therefore, interface problems have inspired an important effort from the numerical analysis community to find accurate but practical solution strategies. When dealing with the discretization of interface problems, one important choice is whether the computational mesh should resolve accurately the profile of the interface or not. Methods where the profile of the interface is followed by the mesh are told fitted. Fitted methods in general don’t need a special treatment for mesh elements touching the interface. On the other hand, especially when dealing with time-dependent problems where the profile of the interface evolves in time, adaptive remeshing can become expensive. For this reason, unfitted methods have gained more and more attention. Unfitted methods allow for elements cut by the interface, alleviating the burden of mesh generation. This comes at the cost of designing special treatments for cut elements. In this work, we present two alternative approaches to the estimation of a discontinuous electric field around a biological membrane. The first one belongs to the category of unfitted methods. It is developed in the framework of a computational environment for the simulation of erythrocyte dynamics called YALES2BIO (Y2B). Y2B is a large-scale finite-volume platform for the simulation of fully resolved biological flows. The simulation of the Fluid/Membrane interaction is based on the Immersed Boundary Method, one of the most well-established unfitted methods, particularly popular for the simulation of biological membranes. Motivated by the versatility of the solver, we propose an implementation for the representation of a discontinuous electric field based on a Ghost Fluid Method. Even though the unfitted approach is appealing for the aforementioned reasons, one drawback is the need to account for interfaces that cut badly the background mesh. This can be cause of poor conditioning and numerical instability. For this reason, we also propose an alternative fitted approach, based on a cut mesh featuring polygonal elements. On the one hand, the support of polygonal elements alleviates the burden of mesh generation and allows the representation of curved interfaces. On the other hand, the most popular conforming solvers are limited to triangular/tetrahedral elements. This motivates the introduction of an hybrid scheme, such as the Discrete De Rham Method. In the second part of the thesis, we present and analyze a Discrete De Rham scheme for the treatment of elliptic problems with interface conditions, robust with respect to conductivity contrast and with optimal convergence rate.

Cette thèse porte sur la simulation numérique de systèmes physiques pouvant être décrits comme des capsules entourées par une membrane élastique. De tels objets constituent un modèle souvent adopté en science des matériaux et en bio-ingénierie pour reproduire les processus impliquant des particules colloı̈dales et des cellules biologiques. Un exemple important est la modélisation de l’écoulement des globules rouges. Plus particulièrement, l’accent est mis sur l’effet mécanique d’un champ électrique sur la membrane d’une interface souple entre des phases fluides aux propriétés électriques contrastées. Cette étude trouve des applications dans le contexte des cytomètres basés sur des mesures d’impédance ou pour caractériser la rhéologie des suspensions de capsules. La modélisation mathématique de ce système physique et l’objectif de réaliser une simulation numérique conduisent à un problème d’intérêt général en analyse numérique : l’approximation d’équations aux dérivées partielles comportant une interface interne à travers laquelle les données sont discontinues. Les problèmes d’interface de ce type sont omniprésents dans les modèles physiques et d’ingénierie. Représenter les conditions de saut et l’évolution des interfaces est une tâche fondamentale pour une vaste catégorie de modèles. Ces problèmes apparaissent notamment dans l’étude des écoulements diphasiques, des transitions de phase et de la propagation des fissures. Un autre domaine où les interfaces jouent un rôle central est la biomécanique, en particulier lorsqu’il s’agit d’étudier la dynamique des membranes biologiques. Outre leur pertinence pour de nombreux modèles physiques, les problèmes d’interface posent également des défis mathématiques importants. Une interface est souvent la région du domaine physique où l’information la plus précieuse est stockée, mais c’est aussi la région où les erreurs numériques les plus importantes sont introduites. Par conséquent, ces problèmes ont suscité un effort considérable de la part de la communauté d’analyse numérique afin de trouver des stratégies de résolution précises mais pratiques. Lors de la discrétisation des problèmes d’interface, un choix important est de déterminer si le maillage computationnel doit épouser précisément le profil de l’interface ou non. Les méthodes où le maillage suit le profil de l’interface sont dites ajustées (fitted). Ces méthodes ne nécessitent généralement pas de traitement particulier pour les éléments touchant l’interface. En revanche, dans les problèmes instationnaires où le profil de l’interface évolue au cours du temps, un remaillage adaptatif peut s’avérer coûteux. Pour cette raison, les méthodes non ajustées (unfitted) ont suscité un intérêt croissant. Ces méthodes permettent l’existence d’éléments traversés par l’interface, réduisant ainsi la complexité de la génération du maillage. Toutefois, cela nécessite la mise en place de traitements spécifiques pour les éléments coupés. Dans ce travail, nous présentons deux approches alternatives pour l’estimation d’un champ électrique discontinu autour d’une membrane biologique. La première approche appartient à la catégorie des méthodes non ajustées. Elle est développée dans le cadre d’un environnement de calcul destiné à la simulation de la dynamique des érythrocytes, appelé YALES2BIO. Il s’agı̂t d’une plateforme de calcul en volumes finis à grande échelle dédiée à la simulation des écoulements biologiques entièrement résolus. La simulation de l’interaction fluide/membrane repose sur la méthodede la frontière immergée (Immersed Boundary Method), l’une des méthodes non ajustées les plus éprouvées et particulièrement populaire pour la simulation des membranes biologiques. Motivés par la polyvalence de ce solveur, nous proposons une implémentation permettant la représentation d’un champ électrique discontinu basée sur la méthode des fluides fantômes (Ghost Fluid Method). Bien que l’approche non ajustée soit attrayante pour les raisons mentionnées, un inconvénient majeur est la nécessité de prendre en compte des interfaces qui coupent le maillage de manière défavorable, ce qui peut entraı̂ner un mauvais conditionnement et des instabilités numériques. Pour cette raison, nous proposons également une approche ajustée alternative, basée sur un maillage découpé (cut mesh) constitué d’éléments polygonaux. D’une part, l’utilisation d’éléments polygonaux réduit la complexité de la génération du maillage et permet la représentation d’interfaces courbes. D’autre part, les solveurs conformes les plus répandus sont limités aux éléments triangulaires/tétraédriques. Cela motive l’introduction d’un schéma hybride, tel que la méthode de De Rham discrète (Discrete de Rham Method). Dans la seconde partie de cette thèse, nous présentons et analysons un schéma de De Rham discret pour le traitement des problèmes elliptiques avec conditions d’interface, garantissant une robustesse vis-à-vis des contrastes de conductivité et une convergence optimale.

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  • HAL Id : tel-05305250 , version 1

Citer

Aurelio Edoardo Spadotto. Numerical Simulation of Red Blood Cell Electrodeformation. Numerical Analysis [math.NA]. Université de Montpellier, 2025. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-05305250⟩
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