Thèse Année : 2025

Graphical and geometrical perspectives on positive spanning sets with applications to derivative-free optimization

Perspectives graphiques et géométriques sur les familles positivement génératricesavec applications à l'optimisation sans dérivées

Résumé

Positive spanning sets (PSSs) are defined by their ability to generate the entire Euclidean space through linear combinations with nonnegative coefficients. Such families of vectors play an important role in the framework of continuous optimization, and more specifically in derivative-free optimization. In this context, directional direct-search algorithms rely on the use of PSSs to explore the space in search of an extremum of the objective function. The performance of these algorithms is influenced not only by the size of the PSSs to be considered, but also by the spread of their elements in space, assessed through their cosine measure. Complexity bounds can thus be lowered for families that combine low cardinality with a high cosine measure. To date, however, there exists neither a satisfactory characterization of positive bases - PSSs that are inclusion-wise minimal - nor a polynomial time algorithm for evaluating the cosine measure of a family of vectors.In this manuscript, we examine each of these two problems through a theoretical study of the properties of positive spanning sets. First, we explore the relationships between network matrices of strongly connected digraphs and the matrix representations of PSSs. In doing so, we establish a new characterization of these families, which we refine to characterize positive bases. Next, we prove the existence of polynomial time algorithms able to determine the cosine measure of certain classes of positive bases. Using these families, we show that it is possible to construct resilient PSSs which preserve a satisfactory cosine measure upon losing some of their elements. Finally, we introduce a new direct-search algorithm, more robust than its predecessors, based on the use of such resilient PSSs.

Les familles positivement génératrices (PSSs) sont définies par leur capacité à engendrer l'entièreté de l'espace euclidien par des combinaisons linéaires à coefficients positifs ou nuls. De telles familles de vecteurs jouent un rôle important dans le cadre de l'optimisation continue, et plus particulièrement dans celui de l'optimisation sans dérivées. Dans ce contexte, les algorithmes directionnels de recherche directe se basent sur l'utilisation de PSSs pour explorer l'espace en quête d'un extremum de la fonction à optimiser. Les performances de ces algorithmes sont impactées par la taille des PSSs considérés, mais aussi par la dispersion de leurs éléments dans l'espace, évaluée par leur mesure cosinus. Les bornes de complexité se voient ainsi réduites pour des familles alliant une faible cardinalité à une mesure cosinus élevée. A ce jour, il n'existe pourtant ni de caractérisation satisfaisante des bases positives - nom donné aux PSSs minimaux en termes d'inclusion - ni d'algorithme polynomial permettant d'évaluer la mesure cosinus d'une famille de vecteurs. Dans ce manuscrit, nous nous attachons à examiner chacun de ces deux problèmes, par l'étude théorique des propriétés des familles positivement génératrices. Dans un premier temps, nous explorons les relations liant les matrices de réseaux de graphes fortement connexes aux représentations matricielles des PSSs. Nous exhibons ainsi une nouvelle caractérisation de ces familles, que nous affinons dans le but de caractériser les bases positives. Par la suite, nous démontrons l'existence d'algorithmes polynomiaux permettant de déterminer la mesure cosinus de certains classes de bases positives. Nous démontrons qu'il est possible, à l'aide de ces familles, de construire des PSSs résilients qui conservent une mesure cosinus satisfaisante lorsqu'on retire un certain nombre de leurs éléments. Enfin, nous introduisons un nouvel algorithme de recherche directe, plus robuste que ses prédécesseurs, basé sur l'utilisation de ces PSSs résilients.

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Citer

Sébastien Kerleau. Graphical and geometrical perspectives on positive spanning sets with applications to derivative-free optimization. Computer Science [cs]. Université Paris sciences et lettres, 2025. English. ⟨NNT : 2025UPSLD044⟩. ⟨tel-05449035⟩
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