Pour exprimer explicitement les vecteurs , et dans la base (, , ) en fonction des pentes Sx et Sy , je vais déterminer . On peut exprimer en fonction des angle n et n (voir la figure 7.37) comme
où n est l’angle entre le zenith et le zenith local et n est l’angle d’azimut de dans le repère terrestre.
Pour déterminer n et n, on identifit (J.74) et (J.77). Il vient
On déduit alors de (J.78) et (J.78)
avec n inférieur à 90o (par conséquent l’argument de l’arcsin est positif et il n’y a pas de solution négative quand on prend la racine). En utilisant (J.81), (J.82) et (J.79), il vient
On a ainsi une expression explicite de n et n en fonction des pentes Sx et Sy.
Je vais déterminer en fontion de n et n, et donc en fonction de Sx et Sy, à l’aide de la deuxième des relations (J.76). il vient alors
On a ainsi une expression de en fonction des pentes avec (J.75) et (J.86). On détermine par la première des relations (J.76) d’où il vient
,
soit, en remplaçant par son expression en fonction de n et n donnée en (J.85),