Contenu

• 2.3.1 Cas d'une source primaire ponctuelle placée en $x_0 = 0$
• 2.3.2 Cas d'une source primaire ponctuelle placée en $x_0 \neq 0$
• 2.3.3 Cas d'une source primaire étendue entre $-r_s$ et $+r_s$

2.3 Fondements physiques : l'expérience des trous d'Young

Le principe d'interférométrie qui prédomine dans la synthèse d'ouverture est parfaitement illustré par l'expérience des trous d'Young Young, dont le dispositif est décrit par la figure 2.6. Cet exemple permet de se familiariser intuitivement avec les phénomènes plus complexes qui seront étudiés par la suite, tout en faisant émerger des relations importantes pour la suite, comme le théorème de VAN CITTERT-ZERNIKE, à la base de tout le travail de reconstruction en synthèse d'ouverture.

Une source primaire $S_0$ éclaire un masque percé de deux trous et situé à une distance $H$ . La figure d'interférence est observée sur un écran placé à une distance $L$ des trous. Les proportions suivantes seront considérées par la suite :
- le diamètre des trous est négligeable devant toutes les autres dimensions.
- la distance D entre les trous est négligeable devant les longueurs $H$ et $L$ .
- la largeur de la figure d'interférence est petite devant les longueurs $H$ et $L$ .
Etant données ces hypothèses nécessaires à l'obtention d'interférences, l'étude est menée dans le plan du schéma et les positions des sources sont reportées sur l'axe $X$ .

D'après le principe de HUYGENS, chaque trou placé en $(S_1)$ et $(S_2)$ devient une source secondaire au passage de l'onde issue de $(S_0)$ . Le champ électromagnétique $\overrightarrow{s}$ arrivant sur l'écran est donc la somme des deux champs $\overrightarrow{s_1}$ et $\overrightarrow{s_2}$ :

$$\overrightarrow{s}(x,t) = \overrightarrow{s_1}(x,t) + \overrightarrow{s_2}(x,t)$$ (2.25)

$$\overrightarrow{s}(x,t) = a_1 \exp{j(\omega t +\phi_1(x))}\overrightarrow{u_1} + a_2 \exp{j(\omega t +\phi_2(x))}\overrightarrow{u_2}$$ (2.26)

où $a_i$ et $\phi_i$ sont l'amplitude et la phase de l'onde issue de $(S_i)$ se propageant le long de $\overrightarrow{u_i}$ , avec $i = 1,2$ . La pulsation $\omega$ est telle que $\omega = 2 \pi f_0$ , avec $f_0$ fréquence du champ émis en $(S_0)$ et $\lambda_0$ sa longueur d'onde.
L'intensité $I(x)$ mesuré en $P$ est définie par :

$$I(x) = < \overrightarrow{s}(x,t) . \overrightarrow{s}^*(x,t) >$$ (2.27)

En supposant les amplitudes des ondes secondaires égales à l'amplitude $a_0$ de l'onde primaire :

$$I(x) = 2a_0^2 + a_0\left( \exp{j(\omega t + \phi_1)} + \exp{-j(\omega t + \phi_2)} \right)$$ (2.28)

$$I(x) = 2I_0 \left( 1 + \cos(\phi_1-\phi2) \right)$$ (2.29)

où $I_0$ est l'intensité de la source $(S_0)$ .
La phase $\phi = \phi_1 - \phi_2$ est liée à la différence de marche $\delta$ entre les chemins $(S_0S_1P)$ et $(S_0S_2P)$ :

$$\phi = \frac{\displaystyle 2 \pi}{\lambda_0} \delta$$ (2.30)

$$\textrm{avec}~\delta = (S_0S_1P) - (S_0S_2P)$$ (2.31)

Figure 2-6: Dispositif de l'expérience des trous d'Young : une source ponctuelle $(S_0)$ , placée en $x_0$ , ou étendue entre $-r_s$ et $+r_s$ , rayonne en direction d'un masque, éloigné d'une distance $H$ et percé de deux trous $(S_1)$ et $(S_2)$ . Une figure d'interférence apparaît sous certaines conditions sur un écran placé à une distance $L$ du masque. L'intensité des raies est mesurée au point $P(x)$ , le long de l'axe $X$ .

2.3.1 Cas d'une source primaire ponctuelle placée en $x_0 = 0$

Dans ce cas, $\delta$ ne dépend que de $S_1P - S_2P$ , avec :

$$(S_1P)^2 = L^2 + \left(\frac{\displaystyle D}{2} - x \right)^2$$ (2.32)

$$\textrm{et}~(S_2P)^2 = L^2 + \left(\frac{\displaystyle D}{2} + x \right)^2$$ (2.33)

Pour $L>>D$ et $L>>x$ , on peut appliquer l'approximation $\sqrt{1+\epsilon } \approx 1 + \frac{\displaystyle \epsilon }{2}$ :

$$S_1P = L + \frac{1}{2L} \left(\frac{\displaystyle D}{2} - x \right)^2$$ (2.34)

$$\textrm{et}~S_2P = L + \frac{1}{2L} \left(\frac{\displaystyle D}{2} + x \right)^2$$ (2.35)

soit :

$$\delta = \frac{1}{2L} \left[\left(\frac{\displaystyle D}{2} - x \right)^2 - \left(\frac{\displaystyle D}{2} + x \right)^2 \right]$$ (2.36)

$$\delta = - \frac{Dx}{L}$$ (2.37)

Donc d'après les relations (2.29) et (2.30), l'intensité au point P résultant de l'interférence d'une source ponctuelle placée en $x_0 = 0$ est :

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \cos \left(\frac{\displaystyle 2 \pi}{\lambda_0} \frac{Dx}{L} \right)\right]$$ (2.38)

2.3.2 Cas d'une source primaire ponctuelle placée en $x_0 \neq 0$

Dans ce cas, $\delta$ dépend aussi des chemins $(S_0 S_1)$ et $(S_0 S_2)$ :

$$(S_0 S_1)^2 = = H^2 + \left(\frac{\displaystyle D}{2} - x_0 \right)^2$$ (2.39)

$$\textrm{et}~(S_0 S_2)^2 = = H^2 + \left(\frac{\displaystyle D}{2} + x_0 \right)^2$$ (2.40)

Pour $H>>D$ et $H>>x_0$ , on peut appliquer l'approximation $\sqrt{1+\epsilon } \approx 1 + \frac{\displaystyle \epsilon }{2}$ :

$$S_0 S_1 = H + \frac{1}{2H} \left(\frac{\displaystyle D}{2} - x_0 \right)^2$$ (2.41)

$$\textrm{et}~S_0 S_2 = H + \frac{1}{2H} \left(\frac{\displaystyle D}{2} + x_0 \right)^2$$ (2.42)

soit :

$$\delta = \frac{1}{2L} \left[\left(\frac{\displaystyle D}{2} - x \right)^2 ... ...D}{2} - x_0 \right)^2 - \left(\frac{\displaystyle D}{2} + x_0 \right)^2 \right]$$ (2.43)

$$\delta = - \frac{Dx}{L} - \frac{Dx_0}{H}$$ (2.44)

Donc d'après les relations (2.29) et (2.30), l'intensité au point P résultant de l'interférence d'une source ponctuelle placée en $x_0 \neq 0$ est :

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \cos \left(\frac{\displaystyle 2 \pi}{\lambda_0} \left(\frac{Dx}{L} + \frac{Dx_0}{H} \right)\right)\right]$$ (2.45)

2.3.3 Cas d'une source primaire étendue entre $-r_s$ et $+r_s$

La figure d'interférence d'une source étendue est la somme en intensité des figures d'interférences des sources ponctuelles constituant la source étendue. L'intensité mesurée en P est donc :

$$I(x) = \int \limits_{-r_s}^{+r_s} 2I_i(x_0) \left[1 +\cos \left(\frac{\displaystyle 2 \pi \delta (x_0)}{\lambda_0} \right)\right]dx_0$$ (2.46)

$$\textrm{avec}~\delta (x_0) = - \frac{Dx}{L} - \frac{Dx_0}{H}$$ (2.47)

où $I_i(x_0)$ est l'intensité élémentaire émise par chaque source ponctuelle. L'intensité totale $I_0$ de la source étendue est donc telle que :

$$I_0 = \int \limits_{-r_s}^{+r_s} I_i(x_0) dx_0$$ (2.48)

et l'intensité élémentaire normalisée $I^n_i(x_0)$ est définie par :

$$I^n_i(x_0) = \frac{\displaystyle I_i(x_0)}{I_0}$$ (2.49)

La relation (2.46) devient donc :

$$I(x) = 2I_0 + 2\int \limits_{-r_s}^{+r_s} I_i(x_0)\cos \left(\frac{\displaystyle 2 \pi \delta (x_0)}{\lambda_0} \right)dx_0$$ (2.50)

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \int \limits_{-r_s}^{+r_s} I^n_i(x_0)\cos \left(\frac{\displaystyle 2 \pi \delta (x_0)}{\lambda_0} \right)dx_0 \right]$$ (2.51)

Puisque $I^n_i(x_0)$ est réel et positif, cette relation peut aussi s'écrire :

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \Re e \left\{\int \limits_{-r_s}^{+r_s} I^n_i(x_0)... ...(j2\pi\frac{\displaystyle \delta (x_0)}{\lambda_0}\right)} dx_0 \right\}\right]$$ (2.52)

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \Re e \left\{\int \limits_{-r_s}^{+r_s} I^n_i(x_0)... ...c{Dx}{\lambda_0L} - \frac{Dx_0}{\lambda_0H}\right)\right)} dx_0 \right\}\right]$$

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \Re e \left\{\exp{\left(-i2\pi \frac{Dx}{\lambda_0... ..._i(x_0) \exp{\left(-j2\pi \frac{Dx_0}{\lambda_0H} \right)} dx_0 \right\}\right]$$

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \Re e \left\{\exp{\left(-i2\pi \frac{Dx}{\lambda_0L} \right)} \gamma_i(u) \right\}\right]$$ (2.53)

$$\textrm{avec}~u = \frac{D}{\lambda_0H} \textrm{et}~ \gamma_i(u) = \int \limits_{-r_s}^{+r_s} I^n_i(x_0) \exp{\left(-j2\pi ux_0 \right)} dx_0$$ (2.54)

Les relations (2.53) et (2.54) font intervenir $\gamma_i$ , le degré complexe de cohérence spatiale, quantité complexe telle que $\gamma_i = \vert \gamma_i \vert \exp{\left(i\alpha_i\right)}$ . Ainsi, l'intensité mesurée en P est de la forme :

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \vert \gamma_i \vert \cos \left(\frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{Dx}{L} -\alpha_i \right)\right]$$ (2.55)

Le facteur de visibilité $V$ donne une mesure du contraste des franges d'interférence :

$$V = \frac{\displaystyle I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$$ (2.56)

Or d'après (2.55) :

$$I_{min} = 2I_0(1-\vert \gamma_i \vert )$$ (2.57)

$$I_{max} = 2I_0(1+\vert \gamma_i \vert )$$ (2.58)

En conclusion, les relations suivantes existent entre le facteur de visibilité, le degré de cohérence spatiale et la distribution spatiale d'intensité :

$$\gamma_i(u) = \int I^n_i(x_0) \exp{\left(-j2\pi ux_0 \right)} dx_0~\textrm{avec}~u = \frac{D}{\lambda_0H}$$ (2.59)

$$\textrm{et}~V = \vert \gamma_i(u) \vert$$ (2.60)

La relation (2.59) est connue sous le nom de théorème de VAN CITTERT-ZERNIKEVanC1VanC2Zern. On reconnaît dans cette expression (2.59) une relation de transformée de Fourier entre le degré de cohérence spatiale et la distribution spatiale d'intensité. La quantité $u$ ayant la dimension de l'inverse d'une longueur, elle est appelée fréquence spatiale, notion qui sera explicitée dans la section suivante.

Si la distribution d'intensité de la source étendue est uniforme, alors l'intensité élémentaire est telle que :

$$I^n_i(x_0) = \frac{\displaystyle 1}{2r_s}~\textrm{pour}~-r_s < x_0 < +r_s,$$ (2.61)

Le degré de cohérence spatiale est :

$$\gamma_i = \int \limits_{-r_s}^{+r_s} \frac{\displaystyle 1}{2r_s} \exp{\left(-j2\pi \frac{Dx_0}{\lambda_0H} \right)} dx_0$$ (2.62)

$$\gamma_i = \frac{\displaystyle 1}{2r_s} \frac{\lambda_0H}{-j2\pi D} \left[\exp{\left(-2j\pi \frac{Dx_0}{\lambda_0H} \right)}\right]^{+r_s}_{-r_s}$$ (2.63)

$$\gamma_i = \frac{\sin \left(\pi D 2r_s/\lambda_0H \right)}{\pi D 2r_s/\lambda_0H}$$ (2.64)

$$\gamma_i = \textrm{sinc}\left(D 2r_s/\lambda_0H \right)$$ (2.65)

L'intensité mesurée en P est alors :

$$I(x) = 2I_0 \left[1 + \vert \textrm{sinc}\left(D 2r_s/\lambda_0H \right) \vert \cos \left(\frac{2\pi}{\lambda_0} \frac{Dx}{L} \right)\right].$$ (2.66)

Ainsi, comme le pressentait FIZEAU en 1868, il est possible de mesurer le diamètre d'une étoile grâce à sa figure d'interférence. En effet, il suffit de mesurer la distance entre les trous pour laquelle le facteur de visibilité est nul, puisque, d'après (2.65), cette distance est telle que :

$$D \propto \frac{\lambda_0H}{4r_s}$$ (2.67)

où $2r_s$ est le diamètre de l'étoile observée.

La relation (2.66) permet aussi de se rapprocher des propriétés de la synthèse d'ouverture évoquée dans le chapitre 3 de la première partie. En effet, en identifiant chacun des trous à une antenne d'un radiomètre à synthèse d'ouverture, l'augmentation de la distance $D$ va conduire à une meilleure localisation des franges d'interférences (terme en cosinus de la relation (2.66)) ce qui peut s'apparenter à une meilleur résolution spatiale (voir aussi Fig. 2.7), alors que le contraste sera d'autant plus faible (terme en sinus cardinal de la relation (2.66)) ce qui peut s'apparenter à une plus faible résolution radiométrique (voir Fig. 2.8).

Figure 2.7: Variation de l'intensité sur une figure d'interférence obtenue par une expérience de trous d'Young (trait plein) : cas d'une source étendue. La distance entre deux maximas est fonction de la distance $D$ entre les trous : lorsque cette distance augmente, les franges se rapprochent et sont mieux localisées (tirets).

Figure 2.8: Variation de la visibilité en fonction de la distance entre les trous d'une expérience d'Young : cas d'une source étendue. La distance entre deux minima, correspondant à la disparition de la figure d'interférence, dépend de l'étendue $2r_s$ de la source.

Biographie(s)

FIZEAU, Armand Hippolyte Louis
(23 Septembre 1819, Paris, France- 18 Septembre 1896, Venteuil, France)Fizeau.eps

Fils d'un professeur à la faculté de médecine, Fizeau débute des études de médecine au Collège Stanislas, interrompues par une santé fragile. Il suit alors les cours d'astronomie de FRANÇOIS ARAGO à l'observatoire de Paris, ceux d'optique de VICTOR REGNAULT et, à l'aide des notes de cours que lui fait parvenir son frère, ceux dispensés à l'Ecole Polytechnique. En 1839, il perfectionne la dagguerréotypie, améliorant son temps de vie grâce à l'utilisation de sels d'or et en renforçant le contraste de l'image.
En 1845, il débute une collaboration fructueuse avec FOUCAULT. Ils réalisent ensemble le premier dagguerréotype de la surface de soleil. Obtenant des franges dagguerréotype des franges d'interférence à partir d'une source de chaleur, ils illustrent la nature semblable de la lumière et de la chaleur.
En 1848, Fizeau démontre que le son en provenance d'une source mobile sera perçu différemment par un témoin immobile selon la direction de son mouvement : si la source se rapproche, le son est de plus en plus aigu, si elle s'éloigne, le son est de plus en plus grave. Il en est de même pour la lumière, la lumière d'une source mobile se rapprochant étant décalée vers le violet, celle d'une source s'éloignant étant décalée vers le rouge. Cette effet, nommé Doppler-Fizeau, du nom du physicien arrivé indépendamment à la même conclusion, permet, après les travaux complémentaires de KICHHOFF et BUNSEN, d'étudier le mouvement des astres.
En 1849, il donne une bonne approximation de la vitesse de la lumière (315000 km/s) grâce à un système ingénieux. Un rayon lumineux est projeté à travers une roue dentée en direction d'un miroir placé à une très grande distance. Pour certaines vitesses de la roue, le rayon passe entre deux dents, est réfléchi par le miroir et revient à sa source. La durée de ce parcours, et donc la vitesse de la lumière, est lié à la vitesse de la roue dont on mesure la vitesse de rotation. Une version améliorée de ce dispositif permettra à ALFRED CORNU, en 1870, d'obtenir une valeur très précise de la vitesse de la lumière.
Alors que la communauté scientifique croit encore à l'existence de l'éther , support invisible de la propagation de la lumière, FRESNEL fait l'hypothèse qu'un corps en mouvement dans cet éther, l'entraîne en partie dans sa course. Fizeau confirme cette hypothèse en 1851, pourtant faite sur des bases fausses, grâce là encore à l'interférométrie. Il montre qu'un rayon lumineux projeté dans un tuyau dans lequel circule de l'eau, se propage moins vite dans le sens opposé au courant.

MICHELSON, Albert Abraham
(19 Décembre 1852, Strzelno, Pologne - 9 Mai 1931, Pasadena, Californie, Etats-Unis)michelson.eps

Alors âgé de trois ans, Michelson suit sa famille qui quitte la Pologne pour San Francisco, Californie en 1855. A 17 ans, il entre à l'Académie Navale à Annapolis, Maryland, où il se trouve plus d'affinité avec les sciences qu'avec la mer. Diplômé en 1873, il enseigne les sciences dans cette même académie jusqu'en 1879.
Dès 1878, Michelson débute la course qu'il mènera en tête jusqu'à la fin de sa vie : la mesure toujours plus précise de la vitesse de la lumière ($c$ , célérité). Il est dit qu'il réalise sa première mesure à l'aide d'un équipement valant moins de 10 Dollars! Ressentant le besoin de se perfectionner en optique, il part pour l'Europe en 1880 et passe deux ans à Berlin, Heidelberg et Paris.
A Berlin, il construit son premier interféromètre. Ce dispositif est principalement composé de deux bras perpendiculaires : un rayon issu d'une source éloignée est séparé en deux par un miroir semi-argenté. Chacun des deux nouveaux rayons se propagent le long des bras, se réfléchissent sur des miroirs fixés à leur extrémité et viennent interférer après avoir été recombinés. Tout tient à l'un des deux miroirs qui est mobile et à la précision, de l'ordre de la longueur d'onde du signal étudié, avec laquelle il est déplacé. La grande qualité de Michelson était la subtilité des dispositifs qu'il mettait en place, subtilité telle qu'il a parfois été le seul à pouvoir les faire fonctionner.
Avec l'aide du chimiste américain WILLIAMS MORLEY, il est à l'origine d'un non résultat éclatant. Le but de l'expérience de Morley-Michelson est de démontrer l'existence de l'éther : la Terre entraînant l'éther avec elle, et si l'un des bras de l'interféromètre est orienté dans le sens de son mouvement, la durée du trajet des deux rayons se propageant le long de chacun des bras doit être différent et donc produire des franges. A partir de 1887 et devant l'absence de résultat, Michelson n'a cessé d'améliorer la sensibilité de son dispositif, sans pour autant obtenir de frange. Ce non résultat a permis d'infirmer l'hypothèse de l'éther et a contribué à confirmer la théorie de la relativité établie par ALBERT EINSTEIN.
En 1893, partisan de calibrer le mètre étalon d'après une longueur d'onde donnée (idée adoptée en 1960), il donne une mesure du mètre en fonction de la longueur d'onde du cadmium. En 1920, il mesure le diamètre de Betelgeuse à l'aide d'un interféromètre et en 1923, à la tête d'un dispositif incluant deux pics séparés d'un quarantaine de kilomètres, un prisme octogonal sur l'un, un miroir sur l'autre, et la mesure, par triangulation, au quart de pouce près, de la distance les séparant, il établit une nouvelle valeur pour $c$ à 299 798 km/s.
Pour sa dernière expérience, il utilisa un tube dans lequel le vide régnait : la lumière y effectuait des allers-retours jusqu'à parcourir près de 16 km. Les résultats parus en 1933 donnaient une vitesse de 299 774 km/s, soit moins de 2 km/s d'écart avec la valeur adopté dans les années 70.

YOUNG, Thomas
(13 Juin 1773, Milverton, Angleterre - 10 Mai 1829, Londres, Angleterre)Young.eps

Thomas Young était en enfant précoce, lisant couramment à l'âge de deux ans et maîtrisant à 16 ans, le latin, le grec ancien et huit autres langues classiques et modernes. Sa curiosité l'a amené à s'illustrer dans de nombreux domaines parmi lesquels la médecine, la physique et l'archéologie.
En 1793, il débute des études de médecine et seulement un an plus tard, il présente devant la Royal Society les résultats de ses recherches sur l'accommodation de la forme de la cornée en fonction de la distance de l'objet observé. Il obtient son diplôme en 1796 et s'installe à Londres en 1799. En 1801, il démontre que l'astigmatie résulte d'une déficience de la courbure de la cornée. En 1802, il publie ses travaux sur la théorie de la couleur, connue sous le nom de théorie de Young-Helmholtz. Il établit que la perception de l'ensemble des couleurs est due à la stimulation plus ou moins importante de seulement trois couleurs principales, rouge, vert et bleu.
En 1803, il décrit ses travaux sur l'interférence lumineuse et sur la formation de franges lorsqu'un rayon traverse un masque percé de deux trous très fins et très proches. A cette époque, c'est l'hypothèse corpusculaire émise par ISAAC NEWTON qui prédomine. Ce dispositif, connu sous le nom d'expérience des trous d'Young, permettait dès lors d'établir la nature ondulatoire de la lumière, mais, à cause de l'influence de Newton, cette hypothèse n'a été prise en compte que près de 15 ans plus tard, à la suite des travaux d'AUGUSTIN FRESNEL.
Parmi les contributions de Young, on trouve la notion d'énergie comme le produit de la masse et du carré de la vitesse, celle du travail comme le produit de la force par une distance, le module d'Young décrivant l'élasticité d'un solide, et des hypothèses sur les couleurs des bulles de savons. En 1813, il tente de déchiffrer les hiéroglyphes égyptiens et travaille sur la Pierre de Rosette à partir de 1814. En 1823, il publie une comparaison de ses travaux et de ceux de CHAMPOLLION, tentant par là de contester, sans succès, la primauté de Champollion. Son Dictionnaire Egyptien est publié à titre posthume en 1830.

FOURIER, Jean Baptiste Joseph
(21 Mars 1768, Auxerre, France - 16 Mai 1830, Paris, France)Fourier.eps

Dès l'âge de 10 ans, Joseph Fourier se retrouve orphelin, ayant perdu sa mère très tôt, tandis que son père et sa seconde femme meurt l'un après l'autre.
Il entre alors à l'école de Pallais que dirige le maître de musique de la cathédrale. En 1780, il entre à l'Ecole Royale Militaire d'Auxerre où il montre vite de grandes dispositions pour les mathématiques.
Sa première voie est celle des ordres : il entre au séminaire de l'abbaye bénédictine de Saint-Benoit-sur-Loire. Il reste cependant tiraillé entre la prêtrise et les mathématiques, écrivant dans une de ces lettres à BONARD à Paris : Hier j'ai fêté mes 21 ans, l'âge auquel Newton et Pascal avait déjà acquis assez de reconnaissance pour atteindre l'immortalité. .
Il ne prononce pas ses voeux et enseigne à partir de 1790 au collège bénédictin et à l'Ecole Royale Militaire à Auxerre. Alors qu'il hésite encore entre une vie consacrée à la foi et une carrière scientifique, le climat politique décide pour lui et il s'implique dans le comité local de la Révolution. Animé par un espoir d'égalité, il est sur le point de démissionné alors que la Terreur fait rage, mais prisonnier des luttes intestines au sein de la Révolution, il est contraint de rester. Envoyé à Orléans, il fréquente des factions minoritaires surveillées par le pouvoir en place, ce qui lui vaut d'être emprisonné en 1794. A la mort de Robespierre, le climat se détend et il rejoint l'Ecole Normale nouvellement créée en 1795. Il fait là la connaissance de LAPLACE, LAGRANGE et MONGE enseignant à l'Ecole Normale. Après un nouveau passage en prison, de nouveau pour les incidents d'Orléans, il enseigne à la nouvelle Ecole Polytechnique dirigée par LAZARE CARNOT et Gaspard Monge. En 1797, il succède à Lagrange à la chaire d'analyse et de mécanique.
En 1798, il rejoint Napoléon pour sa campagne d'Egypte. Bloqué sur place à la suite de la bataille du Nil, il administre Le Caire, dirige les fouilles archéologiques et fonde l'Institut du Caire au sein duquel il siège, dans le département de mathématiques, en compagnie de Monge, MALUS... et Napoléon. De retour en France en 1801, il souhaite reprendre son poste de professeur à l'Ecole Polytechnique mais Napoléon à d'autres projets pour lui et le nomme Préfet de l'Isère, en siège à Grenoble. Contre mauvaise fortune bon coeur, il dirige les travaux de drainage de Bourgoin et la construction d'une voie rapide rejoignant Grenoble et Turin.
Parallèlement, il rédige de 1804 à 1807 son fameux traité Sur la propagation de la chaleur dans les corps solides qu'il soumet à l'Institut de Paris dont le comité de lecture est composé de Lagrange, Laplace, Monge et LACROIX. Ceux-ci restent très sceptiques sur la qualité du document et notamment sur le développement des fonctions en séries trigonométriques. De plus, BIOT lui reproche de ne pas faire référence à ses propres travaux sur la dérivation des équations de transfert de chaleur paru en 1804, rejoint bientôt avec les mêmes objections par Laplace et POISSON. Et lorsque l'Institut lance une compétition sur la propagation de la chaleur en 1811, Fourier est le seul à soumettre ses travaux et gagne le prix, sans toutefois vraiment convaincre.
Alors que Napoléon est envoyé en exil, Fourier, pour éviter une confrontation périlleuse, le convainc de ne pas passer par Grenoble. Alors que l'Empereur effectue son retour d'Elbe, Fourier tente de convaincre la population de prêter allégeance au Roi et s'enfuit de Grenoble. Il trouve cependant les mots pour expliquer son comportement à Napoléon qui finit par lui pardonner et le nomme Préfet du Rhone.
De retour à Paris, Fourier est nommé à l'Académie des Sciences en 1817. En 1822, son essai Théorie analytique de la chaleur paraît enfin. [bibli]