Contenu

• 2.2.1 Fréquences temporelles - Fréquences spatiales
• 2.2.2 Les transformées de FOURIER à deux dimensions
  • a. Echantillonnage d'une image
  • b. Limitation de la taille d'une image

2.2 Fondements mathématiques : la transformée de FOURIER

2.2.1 Fréquences temporelles - Fréquences spatiales

Prenons l'exemple d'un accord de La mineur joué par un piano et obtenu par la pression simultanée sur quatre touches : La (grave), Mi, Do et de nouveau La (aigu). Le son entendu correspond a une vibration des cordes transmise à l'air puis à notre tympan : il se propage comme une onde, une variation périodique de la pression de l'air. Près de notre oreille vont donc se succéder plusieurs fois par seconde des zones de pressions, alternativement fortes et faibles. La hauteur du son est déterminé par la distance entre deux extrema (la longueur d'onde [m]) ou encore, ce qui est équivalent, par le nombre d'oscillations par seconde (la fréquence temporelle exprimée en HERTZ) : plus la longueur d'onde est grande, plus la fréquence est petite et plus le son est grave et inversement, plus la longueur d'onde est petite, plus la fréquence est grande et plus le son est aigu. Ainsi, les quatre notes formant l'accord de La mineur ont les fréquences suivantes : La (grave) = 220 Hz (220 battements par seconde), Mi = 329.6 Hz, La (aigu) = 440 Hz, Do = 523.3 Hz.

La figure 2.3 illustre la superposition de ces notes : en haut, un accord de La mineur sur une portée ouverte par une clé de sol, au centre les variations de pressions au cours du temps pour cet accord et en bas, les quatre notes, les quatre vibrations élémentaires. Un musicien expérimenté peut discerner les notes composant un accord à son écoute mais cette distinction est plus difficile pour un néophyte. JOSEPH FOURIER a été le premier à présenter une méthode permettant de décomposer tout signal en une superposition de signaux périodiques de fréquence donnée Fourier1 Fourier2. L'objet de la transformée de Fourier est d'indiquer quelles fréquences sont présentes dans ce signal et avec quelle importance . Ainsi, la figure 2.3 montre aussi la transformée de Fourier de l'onde sonore (appelée spectre de fréquence) engendrée par un accord de La mineur : on y retrouve les quatre fréquences des notes qui le composent, avec la même importance dans un cas idéal.

2.2.2 Les transformées de FOURIER à deux dimensions

La transformée de FOURIER (notée $\mathcal{TF}$ par la suite) peut aussi s'appliquer à l'étude de signaux variant non pas en fonction du temps mais en fonction d'une distance. Les fréquences ne sont alors plus temporelles mais spatiales. En réalité, il est abusif de parler de la transformée de FOURIER, puisque les relations changent selon que le signal étudié est continu ou discret, périodique ou non. Dans ce paragraphe, nous parcourrons les différentes transformées de FOURIER pour aboutir à la transformée de FOURIER discrète de signaux périodiques et discrets.

Les relations entre une image $T(x,y)$ définie continûment dans tout l'espace et sa transformée de Fourier $\widehat {T}(u,v)$ sont les suivantes :

$$\widehat {T}(u,v) = \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } T(x,y) ^{-2j\pi \left(ux + vy \right)} dx dy$$ (2.6)

$$T(x,y) = \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \widehat {T}(u,v) ^{2j\pi \left(ux + vy \right)} du dv$$ (2.7)

Figure 2.3: L'accord de La mineur vu comme la superposition de ses quatre fondamentales : en haut, cet accord écrit sur une portée, en dessous, les variations correspondantes de pression au cours du temps, 3 $^{\textrm{ème}}$ ligne, les variations de pression pour (de gauche à droite) un La (grave), un Mi, un Do et un La (aigu). En bas, la transformée de Fourier du signal fait apparaître les quatre fréquences qui le composent.

			$\Downarrow$
			=
	+		+		+
			$\Updownarrow$

Rappelons quelques propriétés de la transformée de FOURIER continue d'un signal continu. Egalité de PARSEVAL L'énergie contenue dans l'image est conservée par la $\mathcal{TF}$ :

$$\int \limits_{-\infty }^{+\infty } \int \limits_{-\infty }^{+\inf... ...fty } \int \limits_{-\infty }^{+\infty } \vert \widehat {T}(u,v) \vert ^2 du dv$$ (2.8)

Propriété de convolution de la $\mathcal{TF}$ La $\mathcal{TF}$ d'un produit de deux fonctions $f_1~\textrm{et}~~f_2$ est égale à la convolution de leur $\mathcal{TF}$ respective, $\widehat {f}_1~\textrm{et}~~\widehat {f}_2$ :

$$\mathcal{TF}\left\{f_1(x,y)\times f_2(x,y) \right\}= \widehat {f_1}(u,v) * \widehat {f_2}(u,v)$$ (2.9)

Propriété de translation de la $\mathcal{TF}$ La translation d'une image se traduit par un déphasage de son spectre :

$$f_2(x,y) = f_1(x-x_0,y-y_0) \Rightarrow \widehat {f_2}(u,v) = \widehat {f_1}(u,v) ^{-2j\pi \left(ux_0 + vy_0 \right)}$$ (2.10)

$\mathcal{TF}$ d'un peigne de DIRAC La transformée de Fourier d'un peigne de DIRAC caractérisé par un pas $\delta x$ est un peigne de DIRAC caractérisé par un pas $1/\delta x$ et dont l'amplitude est multipliée par $1/(\delta x)^2$ :

$$\Pi_{\delta x,\delta x}(x,y) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty } \sum_{l=-\infty }^{+\infty } \delta (x-k\delta x,y-l\delta x)$$ (2.11)

$$\mathcal{TF}\left\{\Pi_{\delta x, \delta x}(x,y) \right\} = \frac{1}{(\delta x)^2}\Pi_{1/\delta x,1/\delta x}(u,v)$$ (2.12)

Dans la pratique, deux caractéristiques de l'acquisition numérique d'une scène 2D vont venir modifier les propriétés de son spectre : l'échantillonnage d'une image va conduire à une périodisation de son spectre et la périodisation de cette image va conduire à l'échantillonnage de son spectre.

a. Echantillonnage d'une image

Les seules quantités manipulables par un ordinateur sont discrètes. Cet échantillonnage $T[k,l]$ de pas $\delta x$ peut être vu comme la multiplication de la scène continue $T(x,y)$ par un peigne de DIRAC 2D $\Pi_{\delta x,\delta x}(x,y)$ :

$$T[k,l] = T(k\delta x,l\delta x) = T(x,y) \Pi_{\delta x, \delta x}(x,y)$$ (2.13)

Ainsi, l'échantillonnage va conduire, dans le calcul de la transformée de FOURIER, à une convolution des $\mathcal{TF}$ de l'image et du peigne de DIRAC et à une périodisation $\widehat {T}_p(u,v)$ du spectre :

$$\widehat {T}_p(u,v) = \mathcal{TF}\left\{T(x,y) \Pi_{\delta x}(x,y) \right\}$$ (2.14)

$$\widehat {T}_p(u,v) = \widehat {T}(u,v) * \frac{1}{(\delta x)^2}\Pi_{1/\delta x,1/\delta x}(u,v)$$ (2.15)

$$\widehat {T}_p(u,v) = \frac{1}{(\delta x)^2} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \int \lim... ...y}^{+\infty} \widehat {T}(u',v') \Pi_{1/\delta x,1/\delta x}(u-u',v-v') du' dv'$$ (2.16)

$$\widehat {T}_p(u,v) = \frac{1}{(\delta x)^2} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \int \lim... ...nfty}^{+\infty} \delta (u-\frac{m}{\delta x}-u',v-\frac{n}{\delta x}-v')du' dv'$$ (2.17)

$$\widehat {T}_p(u,v) = \frac{1}{(\delta x)^2} \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \widehat {T}(u-\frac{m}{\delta x},v-\frac{n}{\delta x})$$ (2.18)

où $\widehat {T}_p(u,v)$ est une fonction $1/\delta x$ -périodique.

On peut alors se demander quelle doit être la finesse du pas $\delta x$ pour que l'échantillonnage d'une image continue se fasse sans perte d'information. Le critère de Shannon-Nyquist L'échantillonnage d'un signal continu, dont le spectre est borné par une fréquence maximale $f_m$ , se fait sans perte d'information si le pas d'échantillonnage vérifie $\delta x \leqslant \frac{\displaystyle 1}{2f_m}$ . Reprenons alors le résultat (2.18). Il peut être vu comme une relation entre la transformée de FOURIER $\widehat {T_{ech}}(u,v)$ du signal échantillonné $T(k\delta x,\l\delta x)$ et la $\mathcal{TF}$ $\widehat {T_{cont}}(u,v)$ du signal continu $T(x,y)$ :

$$\widehat {T_{ech}}(u,v) = \frac{1}{(\delta x)^2} \sum_{m=-\infty}... ...infty}^{+\infty} \widehat {T_{cont}}(u-\frac{m}{\delta x},v-\frac{n}{\delta x})$$ (2.19)

Or, si le critère de SHANNON est respecté, $\widehat {T_{cont}}(u,v)$ est nul pour $u>1/(2\delta x)$ et $v>1/(2\delta x)$ . On obtient donc une relation entre la $\mathcal{TF}$ d'un signal échantillonné et la $\mathcal{TF}$ de ce même signal dans sa version continue :

$$\widehat {T_{ech}}(u,v) = \frac{1}{(\delta x)^2}\widehat {T_{cont}}(u,v)$$ (2.20)

Les relations entre un signal discret non périodique et sa $\mathcal{TF}$ sont les suivantes :

$$\widehat {T}(u,v) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \sum_{l=-\infty}^{+\infty} T[k,l] ^{-2j\pi(uk\delta x+vl\delta x)}$$ (2.21)

$$T[k,l] = \frac{1}{(\delta x)^2} \int \limits_{-1/(2\delta x)}^{+1/(2\delta x)} \int \limits_{-1/(2\delta x)}^{+1/(2\delta x)} \widehat {T}(u,v) ^{-2j\pi(uk\delta x+vl\delta x)} du dv$$ (2.22)

b. Limitation de la taille d'une image

L'acquisition d'une image implique de limiter ses dimensions : afin de pouvoir appliquer la transformée de Fourier, on considérera une répétition de cette image dans tout l'espace. Une telle périodisation de la scène implique la discrétisation de son spectre. Les relations entre un signal 2D discret périodique de dimensions $M\times N$ et sa $\mathcal{TF}$ sont alors les suivantes :

$$\widehat {T}[m,n] = \sum_{k=0}^{M-1} \sum_{l=0}^{N-1} T[k,l] ^{-2j\pi(\frac{mk}{M}+\frac{nl}{N})}$$ (2.23)

$$T[k,l] = \frac{1}{MN} \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{n=0}^{N-1} \widehat {T}[m,n] ^{2j\pi(\frac{mk}{M}+\frac{nl}{N})}$$ (2.24)

Ces relations définissent la transformée de FOURIER à deux dimensions ( $\mathcal{TF}$ D). Le calcul de $\widehat {T}[m,n]$ à l'aide de la relation (2.24) implique $M^2+N^2$ opérations. Des algorithmes ont été développés afin de réduire de nombre d'opérations à $M\log_2M+N\log_2N$ : on appelle ces méthodes des transformées de FOURIER rapides ou FFT pour Fast FOURIER Transform.

Un exemple illustre les relations précédentes : il s'agit d'un tableau de CLAUDE MONNET, Le bassin aux nymphéas , peint en 1899 et représentant une scène souvent utilisée par Monnet, celle du pont japonais enjambant un bassin couvert par des nénuphars. La figure 2.4 montre à gauche un échantillonnage de l'oeuvre originale, chacun des 500x333=166500 pixels qui la composent portant une information sur la couleur.

La $\mathcal{TF}$ d'une image étant une quantité complexe, le spectre présenté à droite sur la figure 2.4 est lié au spectre d'amplitude $\vert \widehat {T}(u,v) \vert$ . Certaines caractéristiques de l'image peuvent apparaître par une simple étude de sa transformée de Fourier. Ainsi, la relation 2.23 montre que la valeur de la $\mathcal{TF}$ à la fréquence nulle $(0,0)$ est la valeur moyenne de la quantité $T(x,y)$ , dans le cas de notre image, sa couleur moyenne. L'essentiel de l'énergie d'une image est contenue dans cette valeur, c'est pourquoi l'écart entre la valeur d'une $\mathcal{TF}$ à la fréquence nulle et à une fréquence non nulle, même faible, est grande. La figure 2.4 représente donc la transformée de Fourier en échelle logarithmique, $\log{\frac{\vert \widehat {T}(u,v) \vert }{\widehat {T}(0,0)}}$ . En reconstruisant une image à partir des seules fréquences contenues à l'intérieur du cercle en pointillé de la figure 2.4, on obtient une version basse fréquence dans laquelle apparaît une information sur le contraste, sur les grandes échelles de l'oeuvre originale. Au contraire, la version haute fréquence obtenue à partir des fréquences extérieures cercle en pointillé donne une information sur les contours et sur les détails.

La reconstruction basse fréquence montrée sur la figure 2.5 est un exemple de signal à spectre borné, dit encore à bande passante limitée : les composantes de Fourier de cette image sont nulles pour les fréquences situées au delà du cercle pointillé. La bande passante a ici la forme d'un disque dont le rayon est égal à la fréquence de coupure. Il est alors intéressant de noter qu'une image à bande passante possède une résolution (un niveau de détail) plus faible que l'image originale.

Figure 2.4: A gauche, Le bassin aux nymphéas , de CLAUDE MONNET (1899, Musée d'Orsay). A droite, sa transformée de Fourier à deux dimensions.

Figure 2.5: A gauche, la composante basse fréquence du bassin aux nymphéas , à droite, la composante haute fréquence.