Subsections

• 3.3.1 Les gains d'antennes
• 3.3.2 Le phénomène de décorrélation spatiale
• 3.3.3 Relation Fondamentale

3.3 Relation fondamentale entre les visibilités et la température de brillance

3.3.1 Les gains d'antennes

Dès lors qu'un instrument réaliste est considéré, il est naturel d'introduire dans la relation (3.20) une pondération de la température de brillance par les gains des antennes considérées. Ainsi, pour deux antennes $A_k$ et $A_l$ données dont les gains, en tension, respectifs sont notés $F_k(\xi,\eta)$ et $F_l(\xi,\eta)$ et les angles solides équivalents $\Omega _k$ et $\Omega _l$ , la relation entre la visibilité $V_{kl}$ correspondante et la température de brillance $T_b$  de la scène observée devient :

$$V_{kl}(u,v) = \frac{1}{\sqrt{\Omega _k\Omega _l}}\iint \limits_{\sqrt{\xi^2+\eta^2}<=1} F_k(\xi,\eta) F_l^{*}(\xi,\eta) T_b(\xi,\eta) \ ^{-2j\pi(u\xi+v\eta)}\ \frac{d\xi d\eta}{\sqrt{1-\xi^2-\eta^2}},$$ (3.20)

avec $(u,v)$ la fréquence angulaire définie par la distance entre les antennes, la notation $F^*$ signalant le complexe conjugué du gain.

Les radiomètres à synthèse d'ouverture offrent la possibilité de mesurer le champ incident sous différentes polarisations. Ainsi, chaque antenne est équipée de deux ports orthogonaux situés dans le plan de l'instrument, le port $X$ et le port $Y$ . Chacun permet la mesure d'une composante du champ incident. Dans ce qui suit, on considérera que toutes les antennes fonctionnent sur le même port. La cas dit de polarisation totale dans lequel les antennes d'un même couple fonctionnent sur des ports différents fera l'objet d'une étude spécifique.

Les visibilités sont donc obtenues par les produits de corrélations suivants :

$$V_{kl}^{XX} \propto \left< E_k^X E_l^{X*} \right>$$ (3.21)

$$\textrm{ou} V_{kl}^{YY} \propto \left< E_k^Y E_l^{Y*} \right>$$ (3.22)

Les gains $F$ de la relation (3.21) désignent alors les gains co-polaires, et $T$ , la composante de la température de brillance selon $X$ ou $Y$ .

3.3.2 Le phénomène de décorrélation spatiale

La relation (3.20) a été établie en supposant que le signal était mesuré à la fréquence centrale $f_0$ (ou à la longueur d'onde $\lambda = c/f$ avec $c$ , vitesse de la lumière). Or, le signal est en fait filtré autour de $f_0$ et pour une bande passante $B$ . Pour tenir compte de cette remarque et en supposant que les filtres sont parfaits (filtres rectangles centré en $f_0$ ), la relation (3.20) est sommée pour $f_0-B/2 \leqslant f \leqslant f_0+B/2$ , en rappelant l'expression des fréquences angulaires $u = d_1/\lambda$ et $v = d_2\lambda$ :

$$V_{kl}(u,v) = \frac{1}{B} \int \limits_{f_0-B/2}^{f_0+B/2} \left\... ...\pi f}{c}(d_1\xi+d_2\eta)}\ \frac{d\xi d\eta}{\sqrt{1-\xi^2-\eta^2}} \right\}df$$ (3.23)

où le coefficient $\frac{1}{B}$ est introduit par la normalisation. Seule l'exponentielle dépend de la fréquence, la fonction $I_{kl}(\xi,\eta)$ définie ci-dessous est donc calculée séparément (pour ne pas alourdir la notation, la dépendance en $u$ et $v$ est rappelée par les indices $kl$ ):

$$I_{kl}(\xi,\eta) = \frac{1}{B} \int \limits_{f_0-B/2}^{f_0+B/2} ^{-\frac{2j\pi f}{c}(d_1\xi+d_2\eta)} df$$ (3.24)

$$I_{kl}(\xi,\eta) = -\frac{1}{B} \frac{1}{\frac{2j\pi}{c}(d_1\xi+d_2\eta)}\left[\mbox{e}^{-\frac{2j\pi f}{c}(d_1\xi+d_2\eta)}\right]_{f_0-B/2}^{f_0+B/2}$$ (3.25)

$$I_{kl}(\xi,\eta) = \frac{1}{B} \frac{\mbox{e}^{-\frac{2j\pi f_0}{c}(d_1\xi+d_2\eta)}... ...2}{c}(d_1\xi+d_2\eta)}-\mbox{e}^{-\frac{2j\pi B/2}{c}(d_1\xi+d_2\eta)} \right\}$$ (3.26)

$$I_{kl}(\xi,\eta) = ^{-2j\pi f_0\frac{(d_1\xi+d_2\eta)}{c}} \textrm{sinc}\left(B{\frac{(d_1\xi+d_2\eta)}{c}} \right)$$ (3.27)

La relation (3.17) permet d'identifier la quantité $\frac{(d_1\xi+d_2\eta)}{c}$ comme le retard géométrique noté $\tau^g_{kl}$ : l'onde plane issue d'un point de la scène observée atteint une antenne du couple avec un retard $\tau^g_{kl}$ par rapport à l'autre. Il est donc défini par les relations :

$$\tau^g_{kl}(\xi,\eta) = \frac{(d_1\xi+d_2\eta)}{c}$$ (3.28)

$$\tau^g_{kl}(\xi,\eta) = \frac{(u\xi+v\eta)}{f_0}$$ (3.29)

La fonction $\widetilde {r}_{kl}(\xi,\eta)$ , exprimant le phénomène de lavage des franges (fringe wash) est alors introduite :

$$\widetilde {r}_{kl}(\xi,\eta) = \textrm{sinc}(B \tau^g_{kl})$$ (3.30)

En intégrant les expressions (3.31) et (3.28) dans la relation (3.24), on obtient :

$$V_{kl}(u,v) = \iint \limits_{\sqrt{\xi^2+\eta^2}<=1} T_b(\xi,\eta) \widetilde {r}_{kl}(\xi,\eta) \ ^{-\frac{2j\pi f_0}{c}(d_1\xi+d_2\eta)}\ \frac{d\xi d\eta}{\sqrt{1-\xi^2-\eta^2}}$$ (3.31)

Le phénomène de fringe-wash tient son nom de son rôle dans la dégradation du rapport signal sur bruit. En effet, il intervient comme un coefficient (complexe pour dès lors que les filtres ne sont pas identiques), dont le module est inférieur à 1 et qui va diminuer l'amplitude du signal $T_b$ . Ses caractéristiques principales sont facilement lisibles dans la relation (3.29). Le rapport signal sur bruit est d'autant plus dégradé ( $\widetilde {r}_{kl}(\xi,\eta)$ est d'autant plus proche de 0) que :
- la distance entre les antennes est grande : le phénomène de décorrélation spatiale est donc très pénalisant pour les grandes lignes de bases, c.-à-d. pour les petits détails de la scène observée,
- les cosinus directeurs sont grands : le phénomène de décorrélation spatiale est donc très pénalisant pour les points situés au bords du champ de vue.

La définition de la fonction $\widetilde {r}_{kl}(\xi,\eta)$ pour des filtres quelconques est :

$$\widehat {r}_{kl}(\tau^g_{kl}) = \displaystyle {\frac{1}{\sqrt{B_k B_l}}} \; ^{-2j\pi\tau^g_{kl} f_0} \int_0^{+\infty} H_k(f) H_l^*(f) \; ^{2j\pi\tau^g_{kl} f} \, df$$ (3.32)

avec $H_i$ la fonction caractéristique du filtre $i$ dont la bande passante $B_i$ est définie par :

$$B_i = \int_0^{+\infty} \vert H_i(f)\vert^2 df$$ (3.33)

Pour des filtres rectangles, avec des largeurs de bande et des fréquences centrales différentes, il existe une expression analytique pour la fonction de fringe-wash BPFW. On considère alors la fonction caractéristique suivante :

$$\vert H_i(f)\vert = \left\{\begin{array}{cl} 1 &\; \textrm{pour} \; f_i-B_i/2 \leqslant f \leqslant f_i+B_i/2\\ 0 &\; \textrm{sinon} \end{array} \right.$$ (3.34)

$$\textrm{et}~H_i(f) = \vert H_i(f)\vert ^{j(\tau_if+\phi_i)}$$ (3.35)

où $f_i$ et $B_i$ désigne la fréquence centrale et la bande passante du filtre $i$ dont la phase varie linéairement avec la fréquence, $\tau_i$ étant le retard de groupe et $\phi_i$ la phase au retard nul.

$$f_a = \textrm{max} \left\{f_1-B_1/2-f_0,f_2-B_2/2-f_0 \right\}$$

$$f_b = \textrm{min} \left\{f_1+B_1/2-f_0,f_2+B_2/2-f_0 \right\}$$

$$\widehat {r}_{kl}(\tau^g_{kl}) = ^{j(\phi_1-\phi_2)} ^{2j\pi f_0(\tau_1-\tau_2)} ^{-2j\pi(\tau_1f_1-\tau_2f_2)} ^{j\pi(\tau_1-\tau_2+\tau^g_{kl})(f_a+f_b)}$$

$$\frac{\displaystyle \textrm{sinc}\left((\tau_1-\tau_2+\tau^g_{kl})(f_b-f_a) \right)}{\sqrt{B_1B_2}}$$ (3.36)

3.3.3 Relation Fondamentale

Les résultats précédents permettent donc d'établir la relation suivante entre les visibilités $V$ et la température de brillance de la scène observée $T_b$ , dans laquelle les caractéristiques instrumentales sont prises en compte :

$$V_{kl}(u,v) = \frac{1}{\sqrt{\Omega _k\Omega _l}} \iint \limits_{... ... F_k(\xi,\eta) F_l^{*}(\xi,\eta) T_b(\xi,\eta) \widetilde {r}_{kl}(\xi,\eta) \ ^{-2j\pi(u\xi+v\eta)}\ \frac{d\xi d\eta}{\sqrt{1-\xi^2-\eta^2}}$$ (3.37)

où $F_k(\xi,\eta)$ et $F_l(\xi,\eta)$ désignent les gains des antennes $k$ et $l$ et $\widetilde {r}_{kl}(\xi,\eta)$ est la fonction de décorrélation spatiale.





Biographie(s)

ZERNIKE, Frits
(16 Juillet 1888, Amsterdam, Pays-Bas - 1966, Naarden, Pays-Bas)Zernike.eps

Deuxième fils d'une famille comptant six enfants, Frits Zernike est le fils de deux enseignants en mathématiques. Enfant, curieux et ingénieux, il recrée un laboratoire à partir d'objets amassés ici ou là et se lance dans la photographie couleur, synthétisant son propre éther et assemblant, à l'aide d'un tourne-disque et d'un horloge, un observatoire miniature lui permettant de photographier les comètes.
Il entre à l'université d'Amsterdam en 1905 et ses travaux en mathématiques sont récompensés dès 1908 par une médaille d'or de l'université de Groningen. Le jury de la Société Hollandaise des Sciences, composé entre autres de LORENTZ et VAN DER WALLS, le récompense en 1912 pour ses travaux sur l'opalescence, qui formera la base de sa thèse (1916). En 1915, il obtient son premier poste à l'université de Groningen où il est fait professeur en 1920.
A partir de 1930, il oriente ses recherches vers l'optique. C'est à cette date qu'il fait sa grande découverte du phénomène de contraste de phase mais ce n'est qu'en 1941, sous l'occupation allemande des Pays-Bas, que sont développés les premiers microscope fonctionnant sur ce principe.
Pour cette découverte, il est récompensé par la Microscopal Royal Society, la médaille Rumford de la Royal Society et enfin, le prix Nobel de physique en 1953.