Contenu

• 4.1.1 Configuration en U et maillage cartésien
  • a. Domaine de FOURIER
  • b. Domaine spatial
  • c. Relations caractéristiques
  • d. Grilles d'échantillonnage
  
  
• 4.1.2 Configuration en Y et maillage hexagonal
  • a. Domaine de FOURIER
  • b. Domaine spatial
  • c. Relations caractéristiques
  • d. Grilles d'échantillonnage
  • e. Stockage des données et Transformée de Fourier Rapide sur un maillage hexagonal

4.1 Couvertures fréquentielles expérimentales et grilles d'échantillonnage

Les fréquences spatiales angulaires pour lesquelles est échantillonnée la fonction de cohérence spatiale sont déterminées par la position relative des antennes du réseau interférométrique. La géométrie de ce réseau conditionne donc les caractéristiques de la grille d'échantillonnage sur les noeuds de laquelle peuvent coïncider les mesures interférométriques Terras. De plus, les dimensions limitées de l'instrument vont confiner les fréquences spatiales des mesures interférométriques à l'intérieur d'une région bornée du domaine de FOURIER. L'échantillonnage du signal mesuré dans ce domaine et la périodisation de la couverture fréquentielle vont amener à définir un maillage périodique à deux dimensions sur lequel se fera la reconstruction.

Deux géométries envisageables pour un réseau destiné à l'observation de la Terre sont étudiées ci-dessous : une géométrie en Y, conduisant à un échantillonnage sur un maillage hexagonal et une géométrie en U, conduisant à un échantillonnage sur un maillage cartésien. Les deux grilles étudiées constituent les deux seuls maillages périodiques permettant de paver tout le plan. D'autres géométries, en T ou en L par exemple, changent la forme de la couverture expérimentale mais pas le maillage sous-jacent.

Figure 4.1: Deux configurations de réseau interférométrique conduisant à la définition de deux maillages différents. A gauche, une configuration en Y, proche de celle de MIRAS (en haut) et sa couverture fréquentielle caractéristique en étoile (en bas) définie sur un maillage hexagonal. A droite, une configuration en U, proche de celle du HUT2D, et sa couverture rectangulaire définie sur un maillage cartésien.

4.1.1 Configuration en U et maillage cartésien

J'ai été amené au cours de cette thèse à développer des outils de simulation et des méthodes de reconstruction adaptés à une configuration proche de celle de l'instrument HUT2D : 3 bras comportant chacun 12 antennes sont disposés en U, l'espace entre les antennes valant $d = 0.7 \lambda$ BPApod. J'expose ci-dessous les principales relations permettant de définir le domaine de FOURIER et le domaine spatial pour un maillage cartésien.

a. Domaine de FOURIER

Les lignes de base, calculées à partir des positions relatives des antennes, définissent, dans le domaine de FOURIER, les fréquences spatiales angulaires pour lesquelles seront effectuées les mesures interférométriques. Les dimensions finies de l'instrument confinent les mesures à l'intérieur d'une couverture fréquentielle expérimentale $H$ , dont la forme est caractéristique d'une géométrie du réseau interférométrique (voir Fig. 4.1, en bas). Une propriété importante des radiomètres imageurs à synthèse d'ouverture émerge alors : ce sont des instruments à bande passante limitée.

On peut aussi d'ores et déjà remarquer que deux différents couples d'antennes peuvent engendrer la même fréquence spatiale (voir les lignes de bases $lb_1$ et $lb_2$ sur la figure 4.1 en haut à gauche). On distinguera alors le nombre de lignes de base et donc de mesures instrumentales, du nombre de fréquences à l'intérieur de $H$ .

Les mesures réalisées par un réseau en U sont effectuées à des fréquences spatiales coïncidant avec les noeuds d'un maillage cartésien. La couverture fréquentielle expérimentale $H$ a la forme d'un rectangle, le maillage cartésienne qui la prolonge étant caractérisé par :

$${\mathcal{H}} = \left\{ {\mathbf{u_q}} = q_1 {\mathbf{u}} + q_2 {\mathbf{v}}, {\mathbf{q}} = (q_1,q_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,,$$ (4.1)

et les vecteurs de translation $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ de ce réseau sont tels que :

$$\mathbf{u}=(\delta u,0) ~\textrm{et}~\mathbf{v}=(0,\delta u)~\textrm{dans}~(U,V)$$ (4.2)

$$\Vert{\mathbf{u}}\Vert=\Vert{\mathbf{v}}\Vert=\delta u$$ (4.3)

avec $\delta u = d/\lambda = 0.7$ .

La fréquence la plus grande $\mathbf{f}_{max}$ est déterminée par la plus grande distance $D_{max}$  entre deux antennes :

$$D_{max} = d\sqrt{(L-1)^2 + L^2} \textrm{avec}~L, \textrm{nombre d'antenne par bras}$$ (4.4)

$$\mathbf{f}_{max} = ((L-1)\delta u,L\delta u) ~\textrm{dans}~(U,V)$$ (4.5)

$$\Rightarrow \vert\vert \mathbf{f}_{max} \vert\vert = \delta u \sqrt{(L-1)^2 + L^2}$$ (4.6)

La taille de la maille élémentaire du réseau cartésien est choisie de façon à contenir entièrement la couverture fréquentielle $H$ . De plus, pour faciliter l'utilisation d'algorithme de transformée de FOURIER rapide (FFT pour Fast Fourier Transform), $N$ est choisi comme une puissance de 2. Le réseau cartésien est alors caractérisé par :

$$N{\mathcal{H}} = \left\{ {\mathbf{U_Q}} = Q_1{\mathbf{U}} + Q_2{\mathbf{V}}, {\mathbf{Q}} = (Q_1,Q_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,.$$ (4.7)

avec $\mathbf{U} = N\mathbf{u}$ et $\mathbf{V} = N\mathbf{v}$ , les vecteurs de translation.

Etant données les dimensions de l'instrument considéré, la fréquence la plus grande est telle que $\vert\vert \mathbf{f}_{max} \vert\vert \approx 11.40$ et une maille élémentaire comprenant $N\times N = 32\times 32$ pixels a une taille suffisante pour contenir la bande passante. Toutefois, afin d'obtenir une représentation plus fine des résultats présentés par la suite, le nombre de pixels est fixé à $N\times N=64\times 64$ .

La figure 4.2 illustre les relations précédentes pour un instrument comportant 3 antennes par bras. Les surfaces  $\sigma_{\mathbf{u}}$ et  $\sigma_{\mathbf{U}}$ des cellules élémentaires ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}})$ et  ${\mathcal{C}}(N{\mathcal{H}})$ des réseaux périodiques sont respectivement égales à  $(\delta u)^2$ et  $(\Delta u)^2$ où $\Delta u = N \,\delta u$ .

b. Domaine spatial

C'est dans ce domaine que les cartes de températures de brillance sont reconstruites. Considérons alors ${\mathcal{H}}^*$ le réseau réciproque de  ${\mathcal{H}}$ :

$${\mathcal{H}}^* = \left\{ {\boldsymbol{\Xi}}_{\mathbf{P}} = P_1{\... ...e {\boldsymbol{\eta}}}, {\mathbf{P}} = (P_1,P_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,.$$ (4.8)

Les deux vecteurs de translation  ${\boldsymbol{\Xi}}$ et  ${\Large {\boldsymbol{\eta}}}$ sont tels que $\Vert{\boldsymbol{\Xi}}\Vert=\Vert{\Large {\boldsymbol{\eta}}}\Vert$ $=\Delta\xi$ , où $\Delta\xi$ joue le rôle dual de $\delta u$ . D'après la définition des réseaux réciproques Kittel, ils satisfont les relations d'orthogonalité suivantes : ${\boldsymbol{\Xi}}\cdot{\mathbf{u}} =$ $\Large {\boldsymbol{\eta}}$ $\cdot{\mathbf{v}} = 1$ et ${\boldsymbol{\Xi}}\cdot{\mathbf{v}} =$ $\Large {\boldsymbol{\eta}}$ $\cdot{\mathbf{u}} = 0$ .

La cellule élémentaire de  ${\mathcal{H}}^*$ est échantillonnée aux noeuds de  ${\mathcal{H}}^*/N$ , le réseau réciproque de  $N{\mathcal{H}}$ :

$${\mathcal{H}}^*/N = \left\{ {\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}} = p_1... ...p_2{\boldsymbol{\eta}}, {\mathbf{p}} = (p_1,p_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,.$$ (4.9)

et les vecteurs  ${\boldsymbol{\xi}}={\boldsymbol{\Xi}} / N$ et  ${\boldsymbol{\eta}}=$ $\Large {\boldsymbol{\eta}}$ $/ N$ sont tels que :

$$\boldsymbol{\xi}=(\delta \xi,0) \qquad\qquad~\textrm{et}~\boldsymbol{\eta}=(0,\delta \xi) \textrm{dans}~({\boldsymbol{\Xi}},\Large {\boldsymbol{\eta}}\normalsize )$$ (4.10)

$$\Vert{\boldsymbol{\xi}}\Vert=\Vert{\boldsymbol{\eta}}\Vert=\delta\xi=\Delta\xi/N$$ (4.11)

où $\delta\xi$ joue le rôle réciproque de $\Delta u$ .

La figure 4.3 illustre les relations précédentes pour un instrument comportant 3 antennes par bras. Les surfaces  $\sigma_{\boldsymbol{\xi}}$ et  $\sigma_{\boldsymbol{\Xi}}$ des cellules élémentaires  ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*/N)$ et  ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*)$ de ces réseaux périodiques cartésiens sont respectivement égales à  $(\delta\xi)^2$ et  $(\Delta\xi)^2$ .

c. Relations caractéristiques

D'après une propriété bien connue des réseaux réciproques, le produit des surfaces des cellules élémentaires de deux réseaux réciproques est unitaire : $\sigma_{\mathbf{u}} \, \sigma_{\boldsymbol{\Xi}} = \sigma_{\mathbf{U}} \, \sigma_{\boldsymbol{\xi}} = 1$ . Par conséquent, les relations entre l'intervalle d'échantillonnage de FOURIER $\delta u$ et l'étendue du champ de vue  $\Delta\xi$ d'une part et la largeur de bande spectrale $\Delta u$ et le pas d'échantillonnage dans le domaine spatial  $\delta\xi$ d'autre part sont telles que :

$$\Delta\xi \,\delta u = \Delta u \,\delta\xi = 1 \;\; \;\; \left\lbrace\!\!\! \begin{array}{l} \Delta\xi = N \,\delta\xi, \\ \Delta u = N \,\delta u. \end{array} \right.$$ (4.12)

Pour $\delta u = 0.7$ et $N = 64$ , l'étendue du champ de vue vaut $\Delta \xi \approx 1.43$ et le pas d'échantillonnage dans le domaine spatial vaut $\delta \xi \approx 0.02$ .

d. Grilles d'échantillonnage

Soient les $N^2$ entiers,

$${\mathbb{G}}(N{\mathcal{H}}) = \left\{ {\mathbf{q}} \in {\mathbb{Z}}^2 : {\mathbf{u_{q}}} \in {\mathcal{C}}(N{\mathcal{H}})\right\}.$$ (4.13)

$${\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*) = \left\{ {\mathbf{p}} \in {\mathbb... ...2 : {\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}} \in {\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*)\right\},$$ (4.14)

Comme ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*)$ est échantillonné aux noeuds de ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*/N)$ , ${\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*)\,\delta\xi$ n'est autre que la grille spatiale bornée représentée sur la figure 4.3. La surface des pixels de cette grille est bien entendu égale à  $\sigma_{\boldsymbol{\xi}}$ . De même, ${\mathbb{G}}(N{\mathcal{H}})\,\delta u$ est la grille de FOURIER bornée représentée sur la figure 4.2, ici la surface de la cellule élémentaire  ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}})$ est bien sûr égale à  $\sigma_{\mathbf{u}}$ .

Figure 4.2: Cellule élémentaire de  $N{\mathcal{H}}$ échantillonnée aux noeuds de  ${\mathcal{H}}$ , et couverture fréquentielle expérimentale $H$ d'un réseau interférométrique en forme de U composé de 3 antennes pour chaque bras. Ici, $N$ est égal à $16$ de sorte de que la couverture fréquentielle expérimentale $H$ est contenue dans une cellule élémentaire de  $N{\mathcal{H}}$ : $\delta u=d/\lambda$ est l'intervalle d'échantillonnage de FOURIER, et  $\Delta u = N \,\delta u$ est la largeur de bande spectrale.

Figure 4.3: Cellule élémentaire de  ${\mathcal{H}}^*$ échantillonnée aux noeuds de  ${\mathcal{H}}^*/N$ . Là encore, $N$ est égal à $16$ , $\delta\xi$ est le pas d'échantillonnage dans le domaine spatial, et  $\Delta\xi = N\,\delta\xi$ est l'étendue du champ de vue.

4.1.2 Configuration en Y et maillage hexagonal

La figure 4.1 montre un réseau interférométrique en Y avec une configuration, proche de celle de l'instrument MIRAS, comportant 21 antennes avant  disposées régulièrement sur chacun des 3 bras (18 antennes sur 3 segments déployables et 3 antennes sur le hub central) et 2 antennes arrières , appelées aussi redondantes . L'espace $d$ entre les antennes est tel que $d = 0.875\lambda$ . L'essentiel des caractérisations des grilles d'échantillonnage pour une configuration en Y a été défini par Anterrieu et al.EricApod.

a. Domaine de FOURIER

Pour un réseau interférométrique en Y, les fréquences spatiales $(u,v)$ , confinées à l'intérieur d'une bande passante $H$ en forme d'étoile, coïncident avec les noeuds d'une grille hexagonale Lannesproc. Le traitement des données interférométriques se fera alors sur des grilles hexagonales CampsHexa1 CampsHexa2.

Le choix d'un repère orienté selon $(U,V)$ est naturel dès lors que le maillage est hexagonal. Toutefois, il peut être utile d'utiliser un repère orthonormé. Le passage d'un système d'axe à l'autre se fait donc à l'aide des relations suivantes :

$$U' = U+\frac{V}{2} \textrm{et}~ V' = \frac{\sqrt{3}}{2}V$$ (4.15)

$$U = U'-\frac{1}{\sqrt{3}}V' \textrm{et}~ V = \frac{2}{\sqrt{3}}V'$$ (4.16)

avec $\delta u = d/\lambda = 0.875$ .

La grille hexagonale  ${\mathcal{H}}$ prolongeant la couverture fréquentielle expérimentale $H$ est caractérisée ainsi :

$${\mathcal{H}} = \left\{ {\mathbf{u_q}} = q_1 {\mathbf{u}} + q_2 {\mathbf{v}}, {\mathbf{q}} = (q_1,q_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,,$$ (4.17)

où les deux vecteurs de translation $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ de ce réseau sont tels que :

$$\mathbf{u}=(\delta u,0) ~\textrm{et}~\mathbf{v}=(0,\delta u) \qquad\qquad \textrm{dans}~(U,V)$$ (4.18)

$$\mathbf{u}=(\delta u,0) ~\textrm{et}~\mathbf{v}=(\delta u/2,\delta u\sqrt{3}/2) \textrm{dans}~(U',V')$$ (4.19)

$$\Vert{\mathbf{u}}\Vert=\Vert{\mathbf{v}}\Vert=\delta u$$ (4.20)

La fréquence la plus grande $\mathbf{f}_{max}$ , que l'on retrouve aux pointes de l'étoile, est déterminée par la plus grande distance $D_{max}$  entre deux antennes :

$$D_{max} = \sqrt{3}Ld \; \, \textrm{avec}~L, \textrm{nombre d'antennes par bras}$$ (4.21)

$$\mathbf{f}_{max} = \left(\frac{D_{max}}{\sqrt{3}\lambda},\frac{D_{max}}{\sqrt{3}\lambda}\right) = (L\delta u,L\delta u) ~\textrm{dans}~(U,V)$$ (4.22)

$$\mathbf{f}_{max} =\left(\frac{3D_{max}}{2\sqrt{3}\lambda},\frac{D_{max}}{2\lambda}\right) = \left(\frac{\displaystyle 3L\delta u}{\displaystyle 2},\frac{\displaystyle \sqrt{3}L\delta u}{\displaystyle 2}\right) ~\textrm{dans}~(U',V')$$ (4.23)

$$\Rightarrow \vert\vert \mathbf{f}_{max} \vert\vert = \sqrt{3} L \delta u$$ (4.24)

Le réseau est alors caractérisé par :

$$N{\mathcal{H}} = \left\{ {\mathbf{U_Q}} = Q_1{\mathbf{U}} + Q_2{\mathbf{V}}, {\mathbf{Q}} = (Q_1,Q_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,.$$ (4.25)

avec $\mathbf{U} = N\mathbf{u}$ et $\mathbf{V} = N\mathbf{v}$ , les vecteurs de translation.

Etant données les dimensions de l'instrument considéré, la norme de la fréquence la plus grande vaut $\vert\vert \mathbf{f}_{max} \vert\vert =31.8$ et une maille élémentaire comprenant $N\times N=64\times 64$ pixels a une taille suffisante pour contenir la bande passante. Toutefois, la réorganisation du stockage des données de la maille élémentaire (voir paragraphe d. de cette section) impose de choisir une maille plus étendue avec $N \times N= 128\times 128$ pixels.

Afin d'illustrer les relations précédentes, la cellule élémentaire de $N{\mathcal{H}}$ échantillonnée aux noeuds de  ${\mathcal{H}}$ est montrée dans la figure 4.4, pour un instrument ne comptant que 3 antennes par bras. Les surfaces  $\sigma_{\mathbf{u}}$ et  $\sigma_{\mathbf{U}}$ des cellules élémentaires ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}})$ et  ${\mathcal{C}}(n{\mathcal{H}})$ des réseaux périodiques sont respectivement égales à  $(\delta u)^2\sqrt{3}/2$ et  $(\Delta u)^2\sqrt{3}/2$ où $\Delta u = N \,\delta u$ .

b. Domaine spatial

Considérons ${\mathcal{H}}^*$ le réseau réciproque de  ${\mathcal{H}}$ :

$${\mathcal{H}}^* = \left\{ {\boldsymbol{\Xi}}_{\mathbf{P}} = P_1{\... ...e {\boldsymbol{\eta}}}, {\mathbf{P}} = (P_1,P_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,.$$ (4.26)

Les deux vecteurs de translation  ${\boldsymbol{\Xi}}$ et  ${\Large {\boldsymbol{\eta}}}$ sont tels que $\Vert{\boldsymbol{\Xi}}\Vert=\Vert{\Large {\boldsymbol{\eta}}}\Vert$ $=\Delta\xi$ , où $\Delta\xi$ joue le rôle dual de $\delta u$ . Dans ce qui suit, la cellule élémentaire de  ${\mathcal{H}}^*$ est échantillonnée aux noeuds de  ${\mathcal{H}}^*/N$ , le réseau réciproque de  $N{\mathcal{H}}$ :

$${\mathcal{H}}^*/N = \left\{ {\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}} = p_1... ...p_2{\boldsymbol{\eta}}, {\mathbf{p}} = (p_1,p_2) \in {\mathbb{Z}}^2 \right\}\,.$$ (4.27)

les vecteurs  ${\boldsymbol{\xi}}={\boldsymbol{\Xi}} / N$ et  ${\boldsymbol{\eta}}=$ $\Large {\boldsymbol{\eta}}$ $/ N$ sont tels que :

$$\boldsymbol{\xi}=(\delta \xi,0) \qquad\qquad~\textrm{et}~\boldsymbol{\eta}=(0,\delta \xi) \textrm{dans}~({\boldsymbol{\Xi}},\Large {\boldsymbol{\eta}}\normalsize )$$ (4.28)

$$\boldsymbol{\xi}=(\delta\xi\sqrt{3}/2,\delta\xi/2)~\textrm{et}~\boldsymbol{\eta}=(0,\delta\xi) \textrm{dans}~({\boldsymbol{\Xi}'},\Large {\boldsymbol{\eta}'}\normalsize )$$ (4.29)

$$\Vert{\boldsymbol{\xi}}\Vert=\Vert{\boldsymbol{\eta}}\Vert=\delta\xi=\Delta\xi/N$$ (4.30)

où $\delta\xi$ joue le rôle réciproque de $\Delta u$ . Ils satisfont aussi aux relations d'orthogonalité suivantes : ${\boldsymbol{\xi}}\cdot{\mathbf{U}} = {\boldsymbol{\eta}}\cdot{\mathbf{V}} = 1$ et ${\boldsymbol{\xi}}\cdot{\mathbf{V}} = {\boldsymbol{\eta}}\cdot{\mathbf{U}} = 0$ .

Afin d'illustrer les relations précédentes, une cellule élémentaire de  ${\mathcal{H}}^*$ échantillonnées aux noeuds de  ${\mathcal{H}}^*/N$ est montrée sur la figure 4.5, pour un instrument ne comptant que 3 antennes par bras. Les surfaces  $\sigma_{\boldsymbol{\xi}}$ et  $\sigma_{\boldsymbol{\Xi}}$ des cellules élémentaires  ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*/N)$ et  ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*)$ de ces réseaux périodiques hexagonaux sont respectivement égales à  $(\delta\xi)^2\sqrt{3}/2$ et  $(\Delta\xi)^2\sqrt{3}/2$ .

Figure 4.4: Cellule élémentaire de  $N{\mathcal{H}}$ échantillonnée aux noeuds de  ${\mathcal{H}}$ , et couverture fréquentielle expérimentale $H$ d'un réseau interférométrique en forme de Y composé de 3 antennes pour chaque bras et d'une antenne centrale. Ici, $N$ est égal à $16$ de sorte de que la couverture fréquentielle expérimentale $H$ est contenue dans une cellule élémentaire de   $N{\mathcal{H}}$ : $\delta u=d/\lambda$ est l'intervalle d'échantillonnage de FOURIER, et  $\Delta u = N \,\delta u$ est la largeur de bande spectrale.

Figure 4.5: Cellule élémentaire de  ${\mathcal{H}}^*$ échantillonnée aux noeuds de  ${\mathcal{H}}^*/N$ . Là encore, $N$ est égal à $16$ , $\delta\xi$ est le pas d'échantillonnage dans le domaine spatial, et  $\Delta\xi = N\,\delta\xi$ est l'étendue du champ de vue.

c. Relations caractéristiques

De l'expression des aires des cellules élémentaires de chacun des réseaux et de la relation entre les surfaces des réseaux réciproques, il vient dans le cas spécifique des réseaux périodiques hexagonaux :

$$\Delta\xi \,\delta u = \Delta u \,\delta\xi = \frac{2}{\sqrt{3}} \;\; \;\; \left\lbrace\!\!\! \begin{array}{l} \Delta\xi = N \,\delta\xi, \\ \Delta u = N \,\delta u. \end{array} \right.$$ (4.31)

Pour $\delta u = 0.875$ et $N = 128$ , l'étendue du champ de vue vaut $\Delta \xi \approx 1.32$ et le pas d'échantillonnage dans le domaine spatial vaut $\delta \xi \approx 0.01$

d. Grilles d'échantillonnage

Soient les $N^2$ entiers,

$${\mathbb{G}}(N{\mathcal{H}}) = \left\{ {\mathbf{q}} \in {\mathbb{Z}}^2 : {\mathbf{u_q}} \in {\mathcal{C}}(N{\mathcal{H}})\right\}.$$ (4.32)

$${\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*) = \left\{ {\mathbf{p}} \in {\mathbb... ...2 : {\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}} \in {\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*)\right\},$$ (4.33)

Comme ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*)$ est échantillonné aux noeuds de ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}}^*/N)$ , ${\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*)\,\delta\xi$ n'est autre que la grille spatiale bornée représentée sur la figure 4.5. La surface des pixels de cette grille est bien entendu égale à  $\sigma_{\boldsymbol{\xi}}$ . De même, ${\mathbb{G}}(N{\mathcal{H}})\,\delta u$ est la grille de FOURIER bornée représentée sur la figure 4.4, ici la surface de la cellule élémentaire  ${\mathcal{C}}({\mathcal{H}})$ est bien sûr égale à  $\sigma_{\mathbf{u}}$ .

e. Stockage des données et Transformée de Fourier Rapide sur un maillage hexagonal

Les grilles ne sont pas adaptées à l'utilisation des algorithmes de Transformée de FOURIER Rapide (FFT), développés pour des grilles cartésiennes. Une solution consiste en l'implémentation d'un algorithme spécifiquement étudié pour des grilles hexagonales Mersereau. Toutefois, une telle approche condamne son utilisateur à ne pas profiter des avancées faites sur les FFT pour les grilles cartésiennes.

Une autre solution est de redéfinir la maille élémentaire, en utilisant non pas un hexagone mais le rhomboïde, maille élémentaire traditionnelle des maillages hexagonaux en cristallographie Kittel. La réorganisation des données échantillonnées sur les hexagones ${\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*)\,\delta\xi$ et ${\mathbb{G}}(N{\mathcal{H}})\,\delta u$ permet de construire les losanges ${\mathbb{G'}}({\mathcal{H}}^*)\,\delta\xi$ et ${\mathbb{G'}}(N{\mathcal{H}})\,\delta u$ , mieux adaptés au calcul matriciel et définis ainsi :

$${\mathbb{G'}}(N{\mathcal{H}}) = \left\{ {\mathbf{q'}} = {\mathbf{q}}~\textrm{modulo}~N, {\mathbf{q}} \in {\mathbb{G}}({N\mathcal{H}}) \right\}$$ (4.34)

$${\mathbb{G'}}({\mathcal{H}}^*) = \left\{ {\mathbf{p'}} = {\mathbf{p}}~\textrm{modulo}~N, {\mathbf{p}} \in {\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*) \right\}$$ (4.35)

La FFT est appliquée sur ces grilles (voir Fig. 4.6 et 4.7) et les résultats sont réorganisés pour retrouver l'hexagone de la grille réciproque, méthode permettant de profiter des dernières avancées sur les algorithmes standards pour les grilles cartésiennes EricApod.

Figure 4.6: Réorganisation du stockage des données échantillonnées sur une grille hexagonale dans le domaine de FOURIER.

Figure 4.7: Réorganisation du stockage des données échantillonnées sur une grille hexagonale dans le domaine de spatial.