Subsections

• 4.2.1 Espaces des objets, des données et sous-espaces associés
  • a. $E$ espace des objets
  • b. $\mathcal{E}$ , sous espace de E des fonctions à bande passante limitée.
  • c. $F$ , espace des données
  • d. Propriété d'hermiticité des espaces
  
  
• 4.2.2 Les opérateurs clés
  • a. ${\mathbf{U}}$ , opérateur de transformée de FOURIER
  • b. ${\mathbf{Z}}$ , opérateur de remplissage de zéros
  • c. ${\mathbf{P}}_{\! H}$ , projecteur sur ${\mathcal{E}}$

4.2 Espaces et opérateurs

Les paragraphes suivants décrivent les espaces de travail entre lesquels seront définis les opérateurs intervenant dans la reconstruction EricApod EricMatres. configuration en Y.

4.2.1 Espaces des objets, des données et sous-espaces associés

a. $E$ espace des objets

Il s'agit de l'espace des fonctions $T$ de distribution des températures de brillance échantillonnées qui prennent leurs valeurs $T_{\mathbf{p}}\equiv T({\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}})$ aux noeuds  ${\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}$ de la grille spatiale  ${\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*)\,\delta\xi$ LannesA LannesB.

L'espace dual  $\widehat{E}$ est l'image de $E$ par l'opérateur de transformée de FOURIER. Autrement dit, c'est l'espace des transformées de FOURIER $\widehat{T}$ prenant leurs valeurs  $\widehat{T}_{\mathbf{q}}\equiv \widehat{T}({\mathbf{u}}_{\mathbf{q}})$ aux noeuds  ${\mathbf{u_q}}$ de la grille de FOURIER  ${\mathbb{G}}(n{\mathcal{H}})\,\delta u$ .

b. $\mathcal{E}$ , sous espace de E des fonctions à bande passante limitée.

Les fonctions  ${\mathcal{T}}$ à bande limitée dans $H$ , définies comme étant les fonctions dont la transformée de FOURIER  $\widehat{{\mathcal{T}}}$ est confinée dans la couverture fréquentielle expérimentale $H$ , joue un rôle important dans la synthèse de FOURIER LannesB. Elles appartiennent au sous-espace  ${\mathcal{E}}$ de $E$ , dont l'image par l'opérateur de transformée de FOURIER est le sous-espace  $\widehat{\mathcal{E}}$ de  $\widehat{E}$ . Les fonctions  $\widehat{{\mathcal{T}}}$ prennent leurs valeurs  $\widehat{{\mathcal{T}}}_{\mathbf{q}}\equiv \widehat{{\mathcal{T}}}({\mathbf{u}}_{\mathbf{q}})$ aux noeuds  ${\mathbf{u_q}}$ de la grille de FOURIER uniquement contenue dans $H$ .

c. $F$ , espace des données

Les fréquences spatiales  ${\mathbf{u}}_{kl}$ , associées à chaque couple d'antennes $A_k$ et $A_l$ de l'instrument, appartiennent à une liste finie  ${\mathcal{L}}$ dans le domaine de FOURIER :

$$\mathcal{L} = \left\{\mathbf{u}_{kl} : 1\leq k,l \leq N_a \right\}$$ (4.36)

où $N_a$ est le nombre d'antennes de l'interféromètre. Comme il a déjà été précisé précédemment, cette liste peut être redondante : deux différentes paires d'antennes peuvent engendrer la même fréquence spatiale. L'espace des données $F$ est l'espace des fonctions complexes hermitiennes $V$ prenant leurs valeurs  $V_{kl}\equiv V({\mathbf{u}}_{kl})$ dans  ${\mathcal{L}}$ .

d. Propriété d'hermiticité des espaces

D'après les propriétés d'hermiticité de la transformée de FOURIER des fonctions réelles, et celles des visibilités complexes, les espace duaux  $\widehat{E}$ et  $\widehat{\mathcal{E}}$ peuvent être définis sur la moitié seulement des noeuds des grilles utilisées. La même remarque vaut pour l'espace des données $F$ et la liste des fréquences expérimentales  ${\mathcal{L}}$ .

Cependant, afin d'introduire confortablement ces espaces et leurs normes, il était préférable de ne faire cette remarque qu'en dernier lieu plutôt que d'introduire une difficulté supplémentaire, et par là même une dose de confusion, dans leur définition.

Ainsi, pour un instrument de type MIRAS possédant $L$ antennes avant et $LL$ antennes arrières par bras, soit $N_a = 3(L+LL)$ antennes au total, et $N=3L$ pour un instrument de type HUT2D qui ne possède pas d'antennes arrières, le nombre de visibilités complexes mesurées est $N_a(N_a-1)/2$ auquel il convient d'ajouter une mesure réelle à la fréquence nulle fournie par les NIR , soient $N_b = 1 + N_a(N_a-1)/2$ visibilités au total. L'espace des données $F$ est donc isomorphe à $\mathbb{C}^{N_b}$ , et donc $\mathbb{C}^{2347}$ pour MIRAS et $\mathbb{C}^{631}$ pour HUT2D.

De même, le nombre de fréquences contenues dans la bande passante est $6(L(L+1)+LL)$ pour MIRAS et $(2L-1)(2L+1)-1$ pour le HUT2D, auquel il convient d'ajouter la fréquence nulle. L'espace dual $\widehat {{E}}$ est donc isomorphe à $\mathbb{C}^{N_f}$ , avec $N_f=3(L(L+1)+LL)+1$ pour MIRAS et $N_f=((2L-1)(2L+1)-1)/2+1$ , soit $\mathbb{C}^{1393}$ pour MIRAS et $\mathbb{C}^{288}$ pour HUT2D.

Pour finir, l'espace des objets $E$ est isomorphe à $\mathbb{R}^{N\times N}$ , soit $\mathbb{R}^{16384}$ ($N = 128$ ) pour MIRAS et à $\mathbb{R}^{4096}$ ($N = 64$ ) pour HUT2D. De même, compte tenu de la propriété d'hermiticité, $\widehat{\mathcal{E}}$ est isomorphe à $\mathbb{C}^{N\times N}$ , soit $\mathbb{C}^{16384}$ pour MIRAS et à $\mathbb{C}^{4096}$ pour HUT2D. Le tableau 4.1 résume ces quelques résultats pour MIRAS et HUT2D.

Table 4.1: Relations entre le nombre d'antennes, le nombre de visibilités mesurées et le nombre de fréquence dans la bande passante.

	Nombre total d'antennes $N_a$	Nombre de visibilités mesurées $N_b$	Nombre utile de fréquences $N_f$
MIRAS	$3(L+LL) = 69$	$N_a(N_a-1)/2+1 = 2347$	$3(L(L+1)+LL)+1=1393$
HUT2D	$3L = 36$	$N_a(N_a-1)/2+1 = 631$	$((2L-1)(2L+1-1))/2+1=288$

4.2.2 Les opérateurs clés

a. ${\mathbf{U}}$ , opérateur de transformée de FOURIER

Le passage du domaine de FOURIER au domaine spatiale, et inversement, est une opération courante en synthèse de FOURIER.

Soit, donc, l'opérateur de transformée de FOURIER  ${\mathbf{U}}$ :

$$\begin{array}{rcl} {\mathbf{U}} : E & \longrightarrow & \widehat{E} \\ T & \longmapsto & {\mathbf{U}}T=\widehat{T} \end{array}$$

avec, pour tout  ${\mathbf{q}}$ dans  ${\mathbb{G}}(n{\mathcal{H}})$ :

$$\widehat{T}_{\mathbf{q}} = \sigma_{\boldsymbol{\xi}}\!\! \!\!\sum_{{\mathbf{p}} \in {\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*)} \!\!T_{\mathbf{p}} \, ^{\displaystyle -2\mbox{j}\pi \frac{{\mathbf{p}}\cdot{\mathbf{q}}}{n} }\;.$$ (4.37)

où $\sigma_{\boldsymbol{\xi}}$ est la surface d'une cellule de $\mathbb{G}({\mathcal{H}}^*)$ .

b. ${\mathbf{Z}}$ , opérateur de remplissage de zéros

Dès lors que l'on est amené à considérer des instruments à bande passante limitée, il est nécessaire de disposer d'un opérateur permettant compléter avec des zéros la grille contenant les données interférométriques.

Soit, maintenant,  ${\mathbf{Z}}$ l'opérateur de remplissage de zéros (zero-padding) au-delà de la couverture fréquentielle expérimentale $H$ :

$$\begin{array}{rcl} {\mathbf{Z}} : \widehat{\mathcal{E}} & \lo... ...sto & {\mathbf{Z}}\widehat{\mathcal{T}}=\widehat{T} \end{array}$$

avec, pour tout  ${\mathbf{q}}$ dans  ${\mathbb{G}}(n{\mathcal{H}})$ :

$$\widehat{T}_{\mathbf{q}} = \begin{cases}\widehat{\mathcal{T}}_{\mathbf{q}} & \text{si } {\mathbf{u_q}} \in H,\\ 0 &\text{sinon}. \end{cases}$$ (4.38)

L'action de son adjoint, ${\mathbf{Z}}^*$ , qui consiste à ne garder que les composantes  $\widehat{T}_{\mathbf{q}}$ de  $\widehat{T}$ à l'intérieur de $H$ , est donc telle que  ${\mathbf{Z}}^*{\mathbf{Z}}={\mathbf{I}}$ .

c. ${\mathbf{P}}_{\! H}$ , projecteur sur ${\mathcal{E}}$

La présence d'un sous-espace des fonctions à bande passante limitée rend nécessaire la définition d'un projecteur permettant le passage de $E$ à $\mathcal{E}$ .

Etant données les définitions précédentes, il est possible d'introduire ${\mathbf{P}}_{\! H}$ :

$${\mathbf{P}}_{\! H}={\mathbf{U}}^*{\mathbf{Z}}{\mathbf{Z}}^*{\mathbf{U}}$$ (4.39)

dont l'action est celle d'un projecteur sur l'espace  ${\mathcal{E}}$ des fonctions à bande limitée dans $H$ puisqu'il est facilement démontrable que  ${\mathbf{P}}_{\! H}^*={\mathbf{P}}_{\! H}^{\phantom{*}}$ et ${\mathbf{P}}_{\! H}^2={\mathbf{P}}_{\! H}^{\phantom{*}}$ .