Subsections

• 4.3.1 Action des opérateurs  $\mathbf{G}$ et $\mathbf{G}^*$
• 4.3.2 Propriétés de la matrice $\mathbf{G}$

4.3 ${\mathbf{G}}$ , opérateur de modélisation

L'opérateur de modélisation $\mathbf{G}$  joue un rôle central dans la reconstruction d'image par des méthodes régularisées. Cette section caractérise l'action de $\mathbf{G}$ mais aussi celle de son adjoint $\mathbf{G}^*$ qui intervient dans la définition de certains opérateurs de reconstruction. La représentation matricielle de l'opérateur de modélisation est elle aussi explicitée.

4.3.1 Action des opérateurs  $\mathbf{G}$ et $\mathbf{G}^*$

L'opérateur de modélisation est l'opérateur  $\mathbf{G}$ de l'espace des objets $E$ vers celui des données $F$ décrivant la relation (3.38) entre les visibilités complexes et la distribution des températures de brillance de la scène observée :

$$\begin{array}{rcl} {\mathbf{G}} : E & \longrightarrow & F \\ T & \longmapsto & {\mathbf{G}}T=V \end{array}$$ (4.40)

avec, pour chaque paire d'antenne $A_k$ et $A_l$ :

$$V_{kl} = \sigma_{\boldsymbol{\xi}}\!\! \!\!\sum_{{\mathbf{p}}\in{... ...tilde{r}_{kl}(\frac{-{\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}}{f_o}) \, ^{-2\mbox{j}\pi {\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}} .$$ (4.41)

Avant de déterminer l'expression de l'opérateur adjoint ${\mathbf{G}^*}$ , il est nécessaire d'expliciter la définition des produits scalaires dans $E$ et $F$ :

$$(T^{(1)} \mid T^{(2)})_E \,\equiv\, \displaystyle\sigma_{\boldsym... ...{H}}^*)} \!\!\smash{\overline{T}}^{(1)}_{\mathbf{p}} \, T^{(2)}_{\mathbf{p}}\,,$$ (4.42)

et

$$(V^{(1)} \mid V^{(2)})_F \,\equiv\, \displaystyle\sigma_{\mathbf{u}}\! \sum_{k,l=1}^{\ell}\, \smash{\overline{V}}^{(1)}_{kl} \, V^{(2)}_{kl}\,.$$ (4.43)

Il vient alors :

$$(V \mid {\mathbf{G}} T)_F \equiv \sigma_{\mathbf{u}} \sum_{k,l=1}^{\ell} \overline{V}_{\!kl} ({\mathbf{G}} T)_{kl}$$ (4.44)

$$= \sigma_{\mathbf{u}} \sum_{k,l=1}^{\ell} \overline{V}_{\!kl}\; \si... ...tilde{r}_{kl}(\frac{-{\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}}{f_o}) \, ^{-2\mbox{j}\pi {\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}}$$ (4.45)

$$= \sigma_{\boldsymbol{\xi}}\!\!\! \sum_{{\mathbf{p}}\in{\mathbb{G}}... ...tilde{r}_{kl}(\frac{-{\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}}{f_o}) \, ^{-2\mbox{j}\pi {\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}}$$ (4.46)

$$= \sigma_{\boldsymbol{\xi}}\!\!\! \sum_{{\mathbf{p}}\in{\mathbb{G}}... ...}^* V)}}_{\mathbf{p}}\,T_{\mathbf{p}} \;\equiv\; ({\mathbf{G}}^* V \mid T)_E\,.$$ (4.47)

La définition de ${\mathbf{G}^*}$ , adjoint de l'opérateur de modélisation  ${\mathbf{G}}$ est donc la suivante :

$$\begin{array}{rcl} {\mathbf{G}}^* : F & \longrightarrow & E \\ V & \longmapsto & {\mathbf{G}}^*\,V=T \end{array}$$ (4.48)

avec, pour tout  ${\mathbf{p}}$ dans  ${\mathbb{G}}({\mathcal{H}}^*)$ :

$$T_{\mathbf{p}} = \sigma_{\mathbf{u}} \sum_{k,l=1}^{\ell} \frac{\o... ...ilde{r}}_{kl}(\frac{-{\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}}{f_o}) \, ^{+2\mbox{j}\pi {\mathbf{u}}_{kl}{\boldsymbol{\xi}}_{\mathbf{p}}} .$$ (4.49)

4.3.2 Propriétés de la matrice $\mathbf{G}$

Afin d'assurer le caractère réel des températures de brillance reconstruites, il est préférable de construire la matrice $\mathbf{G}$ , correspondant à l'opérateur de modélisation, comme une matrice réelle. Ainsi, la première ligne contient des informations sur la contribution de chaque pixel à la fonction de cohérence spatiale à la fréquence nulle (valeur réelle de fait). Les $N_b-1$ lignes suivantes contiennent la partie réelle de la contribution de chaque pixel à la fonction de cohérence spatiale et les $N_b-1$ dernières lignes contiennent la partie imaginaire de cette contribution (voir Fig. 4.8).

Le principe de construction de cette matrice est alors simple : il s'agit de calculer la contribution aux visibilités de chacun des pixels composant la carte des températures $T$ . On parcourt donc la grille d'échantillonnage en simulant une impulsion unité sur le pixel courant, $T(\boldsymbol{\xi}_p)=1$ , la température étant nulle ailleurs. L'algorithme de construction de $\mathbf{G}$ est donc le suivant :
Algorithme de construction de $\mathbf{G}$

Do p = $1\!\!:\!\!N^2$
G[1,p] = $\vert\vert F_1[\texttt{p}] \vert\vert ^2 \frac{\sigma_{\boldsymbol{\xi}}}{\sqrt{1-\vert\vert\boldsymbol{\xi}[\texttt{p}]\vert\vert^2}}$
EndDo
Do b = $2\!\!:\!\!N_b$
Do p = $1\!\!:\!\!N^2$

DXDY	=	e$^{-2j\pi(\mathbf{u}[b]\mathbf{\xi}[p])}\frac{\sigma_{\boldsymbol{\xi}}}{\sqrt{1-\vert\vert\boldsymbol{\xi}[\texttt{p}]\vert\vert^2}}$
G[b,p]	=	$\mathcal{R}e \left\{F_k[\texttt{p}]\bar{F}_l[\texttt{p}]\widetilde {r}[\texttt{b},\texttt{p}] \texttt{DXDY}\right\}$
G[b+$N_b$ -1,p]	=	$\mathcal{I}m \left\{F_k[\texttt{p}]\bar{F}_l[\texttt{p}]\widetilde {r}[\texttt{b},\texttt{p}] \texttt{DXDY}\right\}$

EndDo
EndDo

où l'indice $\texttt{b}$ parcourt la liste $\mathcal{L}$ des lignes de base, $F_k$ et $F_l$ désignant les gains des antennes correspondants, l'indice $p$ parcourt la grille d'échantillonnage sur laquelle est défini $T$ et $\sigma_{\mathbf{\xi}}$ est l'élément d'intégration ( $\sqrt{3}(d\xi)^2/2$ pour un maillage hexagonal, $(d\xi)^2$ pour un maillage cartésien).

Figure 4.8: La matrice de modélisation  $\mathbf{G}$ pour un instrument réaliste de type MIRAS.

Le tableau 4.2 résume les caractéristiques de la matrice de modélisation d'un point de vue informatique.

Table 4.2: Caractéristiques informatiques de $\mathbf{G}$ : la taille est donnée pour une déclaration en double précision (8 octets) et le temps de calcul est mesuré sur un COMPAQ MATHEND000#SERVER SC 45 et une parallélisation sur 4 processeurs.

	Dimensions $(2N_b-1)\times N^2$	Taille	Temps de calcul
MIRAS	$4693\times 16384$	586.6 Mo	15 s
HUT2D	$1261\times 4096$	39.6 Mo	1 s

Biographie(s)

SHANNON, Claude Elwood
(30 Avril 1916, Gaylord, Etats-Unis - 24 Février 2001, Medford, Etats-Unis)shannon.eps Claude Shannon est diplômé de l'université du Michigan en 1936, en mathématiques et en ingénierie électrique et il intègre le MIT (Massachussets Insitute of Technology) au sein duquel il passe un master en ingénierie électrique et une thèse en mathématiques en 1940.

De 1941 à 1972, il travaille pour la société AT&T Bell dans le New Jersey, dont il parcourt les couloirs... juché sur un monocycle. En 1948, il révolutionne le domaine de la communication en publiant A Mathematical Theory of Communication dans lequel il suggère un codage de l'information sous la forme de bits, pour binary digit, introduisant la possibilité de transmettre l'information sous une forme discrète et non plus continue.

Lors de la dernière partie de sa carrière, il travaille sur l'intelligence artificielle. Il développe notamment les premiers programmes permettant aux machines de jouer aux échecs...et un monocycle à deux places.

NYQUIST, Harry
(7 Février 1889, Nilsby, Suède - 4 Avril 1976)nyquist.eps Harry Nyquist passe des premières années universitaires à l'université du Nord Dakota de 1912 à 1915 où il reçoit un diplôme en ingénierie électrique. Il passe sa thèse à l'université de Yale en 1917.

De 1917 à 1934, il est employé de l'American Telephone and Telegraph Company au sein du département de recherche et développement en transmission où il se consacre à l'étude de la transmission de l'image et de la voix par le télégraphe. De 1934 jusqu'à sa retraite en 1954, il travaille pour la société Bell Telephone Laboratories pour laquelle il continue ses recherches en transmission et particulièrement sur les systèmes de transmission. Parmi ses principales contribution, on trouve notamment la première formulation quantitative du bruit thermique ou encore le développement du diagramme de Nyquist, permettant d'établir la stabilité des systèmes en feedback . [bibli]