Contenu

• 5.1.1 L'apodisation
• 5.1.2 Les facteurs de mérite.
  • a. ...linéaires
  • b. ... quadratiques
  • c. ... logarithmiques
  • d. Distance de plus courte approche

5.1 Rappels sur l'apodisation et les facteurs de mérite

5.1.1 L'apodisation

La figure 5.1-a représente la distribution 1D $T(x)$ des températures de brillance observées par l'instrument. La figure  5.1-b montre la transformée de Fourier $\widehat{T}(u)$ de cette distribution. En considérant que les visibilités et les températures de brillance sont liées par une simple transformée de FOURIER, les mesures instrumentales sont les composantes de Fourier comprises entre $-L$ et $+L$ , $2L$ étant la bande passante de l'instrument (voir Fig. 5.1-c) : autrement dit, le signal dans le domaine de Fourier est multiplié par une fonction rectangle qui vaut 1 pour $-L \leqslant u \leqslant +L$ et 0 sinon. Cette multiplication dans le domaine de Fourier se traduit, dans le domaine spatial, par une convolution par un sinus cardinal (voir Fig. 5.1-d) : les oscillations de GIBBS dans la distribution $T_W = T*W$  sont la conséquence de cette convolution.

Les notions de fuite radiométrique et de dégradation de la résolution spatiale émergent de la comparaison de la distribution initiale $T$ avec la distribution reconstruite $T_W$ . La première de ces deux sources de dégradation de la qualité de la reconstruction est due aux oscillations que l'on observe aux bords des créneaux (voir Fig. 5.2-a) : alors que la température observée a une valeur constante, la température reconstruite comporte des variations de l'ordre de 10% autour d'une valeur moyenne. D'autre part, la dégradation de la résolution spatiale apparaît clairement dans la difficulté à localiser précisément les limites du créneau reconstruit (voir Fig. 5.2-b).

Puisque ces phénomènes sont causés par une coupure brusque aux bords de la bande passante, le principe moteur de l'apodisation consiste à remplacer la fonction rectangle par des fonctions conduisant à une transition plus douce et ainsi diminuer l'amplitude des oscillations.

Cependant, ainsi que le montre la figure 5.3, cette opération a un coût : la meilleure résolution spatiale compte tenu des caractéristiques de l'instrument est celle obtenue avec la fenêtre rectangle et l'utilisation de n'importe quelle autre fenêtre conduira a une dégradation de cette résolution. Le choix de la fenêtre d'apodisation à appliquer dépend donc des objectifs finaux de la reconstruction : jusqu'où est-on prêt à dégrader la résolution spatiale afin d'améliorer la sensibilité radiométrique ? Les facteurs de mérite des fenêtres, caractérisant leurs propriétés en terme de résolution ou de sensibilité radiométrique, vont offrir une aide précieuse quant à ce choix.

Figure 5.1: Oscillations de GIBBS : a) $T(x)$ , distribution des $T_b$   observée. b) $\widehat{T}(u)$ , la transformée de Fourier de $T(x)$ . c) $\widehat {T}\widehat {W}$ , les mesures instrumentales sont contenues à l'intérieur d'une bande passante limitée. d) $T_W = \widehat {T}*\widehat {W}$ , la distribution de $T_b$  reconstruite.

Figure 5.2: Fuite radiométrique et dégradation de la résolution spatiale : a) La température constante observée (tirets) est corrompue par des oscillation. b) la limite entre les deux plateaux reconstruits est moins bien localisée que dans le cas initial.

Figure 5.3: Deux exemples d'apodisation : le fait d'adoucir la transition au passage à zéro aux bords de la bande passante (a) et c)) conduit à réduire l'amplitude des oscillations dans le domaine spatial mais aussi à dégrader la résolution spatiale (b) et d)).

5.1.2 Les facteurs de mérite.

Les facteurs de mérite forment un ensemble de critères caractérisant le comportement des fenêtres d'apodisation dans le domaine spatial. Trois catégories sont distinguées selon qu'ils quantifient des propriétés de la fenêtre elle-même, du carré de son module ou du logarithme de son module.

a. ...linéaires

Ils caractérisent les propriétés de la fenêtre ($W(x)$ ) dans le domaine spatial (voir Fig. 5.4).
FWHM - Largeur à Mi-Hauteur La largeur à mi-hauteur (noté FWHM pour Full Width at Half-Maximum) est la largeur du lobe principal de la fenêtre d'apodisation dans le domaine spatial, généralement mesurée à -3 dB (par rapport au maximum de la fonction). La largeur du lobe principal (noté MBW pour Main Beam Width) est mesurée entre les deux premiers zéros de chaque coté du lobe principal.

Ces deux facteurs de mérite caractérisent principalement la résolution spatiale : plus leur valeur est faible, plus la résolution spatiale est précise.

b. ... quadratiques

Ils caractérisent les propriétés du module au carré de la fenêtre ( $\vert W(x) \vert ^2$ ) dans le domaine spatial (voir Fig. 5.5).

L'efficacité du lobe principal (noté MBE pour Main Beam Efficiency) est la quantité d'énergie contenue dans le lobe principal, exprimée comme un pourcentage de la quantité d'énergie totale contenue dans tous les lobes.

L'efficacité à mi-hauteur du lobe principal (noté BEHM pour Beam Efficiency at Half-Maximum) est elle-aussi un pourcentage de la quantité d'énergie totale, mais calculée à partir de la quantité d'énergie contenue à l'intérieur de la largeur à mi-hauteur.

Ces deux facteurs donnent là encore une indication sur la résolution spatiale mais aussi sur la sensibilité radiométrique, puisque l'énergie dans les lobes secondaires est prise en compte : plus leur énergie résiduelle est faible, plus les fenêtres sont efficaces.

Figure 5.4: Facteurs de mérite linéaires : la largeur à mi-hauteur du lobe principal est liée à la résolution spatiale. L'axe des abscisses est gradué en unités de $1/L$ où $2L$ est la largeur de la bande passante.

Figure 5.5: Facteurs de mérite quadratiques : l'efficacité du lobe principal et son efficacité à mi-hauteur sont liées à l'efficacité de la fenêtre.

c. ... logarithmiques

Ils caractérisent les propriétés du logarithme du module de la fenêtre ( $\log \vert W(x) \vert$ ) dans le domaine spatial (voir Fig. 5.6). HSLL - plus grande amplitude des lobe secondairesLa plus grande amplitude des lobes secondaires (HSLL pour Highest Side-Lobe Level), exprimée en dB (par rapport au lobe principal) est lié de près à la fuite radiométrique dans les premiers lobes secondaires : plus sa valeur est faible, plus la fuite radiométrique est faible dans les lobes secondaires les plus proches du lobe principal. La décroissance asymptotique des lobes secondaires Harris (notée ADSL pour Asymptotic Decay of Side-Lobes) est la pente de la droite joignant les maximum des lobes secondaires (en dB par octave) : plus sa valeur est faible, plus la fuite radiométrique est faible dans les lobes secondaires les plus éloignés du lobe principal.

Or, puisque l'amélioration de la sensibilité radiométrique entraîne obligatoirement une dégradation de la résolution spatiale, la variation, par exemple, de la largeur à mi-hauteur en fonction du HSLL pour l'ensemble des fonctions d'apodisation est monotone. Un nouveau facteur de mérite, adapté à l'observation de distributions de $T_b$  sur la Terre, a ainsi été développé, de façon à pouvoir procéder à un choix objectif d'une fenêtre d'apodisation optimale.

d. Distance de plus courte approche

Anterrieu et al. EricApod ont introduit un nouveau facteur de mérite, spécifiquement développé pour la caractérisation des fenêtres d'apodisation dans un contexte de télédétection de la surface terrestre. La distance de plus courte approche (SACR, Side Area Contribution Radius) est la distance, mesurée depuis une marche entre deux températures initialement constantes ($T_{min}$ et $T_{max}$ ), au delà de laquelle la l'énergie contenue dans les oscillations est inférieure à un pourcentage fixé de la différence $T_{max}-T_{min}$ .

Cette marche est rencontrée dès lors que la scène observée contient une forte discontinuité comme une ligne de côte. La valeur fixée pour le pourcentage peut être adaptée aux spécifications instrumentales en terme de résolution spatiale et de fuite radiométrique. Plus le SACR est faible, plus se réduit la taille de la région dans laquelle la fuite radiométrique est significative. Il caractérise donc la contamination, par les lobes secondaires, d'une région proche d'une zone ayant des caractéristiques géophysiques différentes.

Figure 5.6: Facteurs de mérite logarithmiques : la plus grande amplitude des lobes secondaires et la décroissance asymptotique des lobes secondaires sont liées à la sensibilité radiométrique.

Figure 5.7: Distance de plus courte approche. a) le SACR est utile lorsque la scène observée contient un saut ($\Delta T$ ) entre deux températures de brillance ($T_{min}$ et $T_{max}$ ) comme le long de lignes de côtes. b) un zoom autour de $T_{max}$ : le SACR est la distance mesurée à partir de la mi-hauteur de la marche jusqu'à la ligne pointillée délimitant deux régions.