5.2 Les fenêtres d'apodisation 2D

Les fenêtres d'apodisation 2D peuvent être directement adaptées des traditionnelles fenêtres 1D Harris Yavuz Filler Norton Nuttall : pour chaque point $(u,v)$ de la bande passante de l'instrument, la valeur de la fenêtre 2D dépend de la variable radiale normalisée $\bar{\rho} = \rho/\rho_{max}$ , avec $\rho = \sqrt{u^2+v^2}$ et $\rho_{max} = \max_{(u,v)}{\{\rho\}}$ Lannesproc. La fonction $\widehat {W}=\widehat {W}(u,v)$ ainsi construite est centro-symétrique dans le domaine de FOURIER et son support à la forme de la bande passante. Dans le domaine spatial, la fenêtre est notée $W=W(\xi,\eta)$ et elle présente une symétrie liée à la forme de la bande passante.

Anterrieu et al. EricApod ont étudié les caractéristiques de plus de 20 fenêtres 2D définies sur un maillage hexagonal (voir Tab. 5.1) et pour un instrument en Y comportant 27 antennes par bras et un espace entre les antennes $\delta u = 0.875$ . Parmi les fenêtres étudiées, certaines dépendent d'un paramètre et forment alors une famille de fenêtres (CAUCHY, POISSON, ..., KAISER, VAN DER MASS). Le tableau 5.2 et la figure 5.9 reprennent les principaux résultats. Pour les familles de fenêtres, les facteurs de mérite sont calculés pour la plus petite et la plus grande des valeurs du paramètre ainsi que pour les valeurs optimales du point de vue du SACR.

J'ai complété ces travaux en caractérisant ces mêmes fenêtres pour une configuration instrumentale en U et un maillage cartésien. Le tableau 5.3 et la figure 5.10 reprennent les principaux résultats.

Afin de faciliter la comparaison et étant donné que les propriétés des fenêtres d'apodisation dépendent naturellement des dimensions de l'instrument, les fréquences spatiales angulaires sont exprimées en unités de $[L_b/\lambda]$ où $\lambda$ est la longueur d'onde d'observation et $L_b$ la longueur de chaque bras et les facteurs de mérite sont donnés en unités de $[\lambda/L_b]$ .

Les figures 5.8-a, b, c et d illustrent les valeurs prises par la fenêtre de BLACKMAN (approchée) dans le domaine de FOURIER (a et c) et dans le domaine spatial (b et d) pour une configuration en Y (a et b) et une configuration en U (c et d). Les contours tracés sous les fenêtres dans le domaine spatial permettent d'apprécier la répartition des maxima des lobes secondaires selon les axes de symétrie des bandes passantes correspondantes.

En comparant les caractéristiques des fenêtres pour les deux géométries étudiées, deux propriétés émergent : les fenêtres d'apodisation pour une configuration en Y sont plus étroites que pour une configuration en U, alors que les lobes secondaires sont plus élevés. En effet, à nombre d'antennes par bras et espace inter-antenne égaux, une configuration en Y possède une meilleure résolution spatiale (FWHM) mais une moins bonne sensibilité radiométrique (HSLL) qu'une configuration en U.

Les différences observées sur le FWHM s'expliquent en observant que la plus grande distance entre deux antennes d'un instrument en Y vaut $\sqrt{3}L_b$ , ce qui est supérieur à la plus grande distance entre deux antennes d'un instrument en U, $\sqrt{(L_b-1)^2+L_b^2}\approx\sqrt{2}L_b$ . Ainsi, comme le montrent les figures 5.8-a et 5.8-c, pour une même longueur $L_b$ , $H$ , la bande passante en étoile est plus étendue que la bande passante rectangulaire.

Figure 5.8: Fenêtre d'apodisation de BLACKMAN approchée. A gauche, les fenêtres d'apodisation traditionnelles 1D sont généralisées au cas 2D à l'aide du paramètre $\bar{\rho} = \rho/\rho_{max}$ , où $\rho_{max}$ est la distance entre la fréquence nulle et la plus grand fréquence de la bande passante. A droite, dans le domaine spatial, on retrouve la symétrie de la bande passante dans la répartition des lobes secondaires autour du lobe principal.

Les différences observées sur le HSLL s'expliquent par la géométrie des bandes passantes. Les fonctions d'apodisation sont construites de façon à ce que $W$ soit nul pour la plus grande fréquence présente dans la bande passante. Ainsi, $\rho_{max}$ vaut $\sqrt{3}~[L_b/\lambda]$ dans l'étoile et $\sqrt{(1-1/\delta u)^2+1}~[L_b/\lambda]~\approx~\sqrt{2}~[L_b/\lambda]$ dans la bande passante rectangulaire. La plus petite valeur de $r$ au bord de l'étoile est donc $1/\sqrt{3}$ , ce qui est inférieur à la plus petite valeur de $r$ au bord du rectangle, $\approx 1/\sqrt{2}$ . Comme les fonctions d'apodisation sont toutes des fonctions décroissantes de $r$ , la plus grande valeur de $W$ au bord de l'étoile est plus grande qu'au bord de la bande passante rectangulaire (voir Fig. 5.8-a et 5.8-c). La hauteur des lobes secondaires étant directement liée aux valeurs de $W$ au bord de la bande passante, le HSLL est plus élevé pour une configuration en Y que pour une configuration en U.

D'autre part, le classement des fenêtres en termes de FWHM, HSLL ou BEHM n'est pas modifié par la configuration de l'instrument. Par exemple, parmi les fenêtres ne dépendant pas d'un paramètre, PARZEN, LANCZOS NUTALL min 3-termes et HARRIS min 4-termes possèdent le lobe central le plus large et une hauteur des lobes secondaires la plus faibles, et ce dans les deux cas. Parmi les familles de fenêtres, GAUSS, KAISER et MASS ont leur lobe principal de plus en plus large et une hauteur des lobes de plus en plus faible au fur et à mesure que la valeur du paramètre dont elles dépendent augmente. Citons toutefois FILLER exacte qui semble avoir un meilleur comportement comparé à MASS pour une configuration en U, ce qui n'est pas le cas pour une configuration en Y.

Comme on l'a vu précédemment, le SACR a été élaboré de manière à permettre un choix objectif parmi l'ensemble des fenêtres disponibles. Notons préalablement que, pour une configuration en U, le SACR n'offrait pas de résultats probants pour un seuil de 0.1% (seul un petit nombre de fenêtre remplissait ce critère), les résultats présentés dans la figure 5.10 et le tableau 5.3 correspondent à un seuil de 0.5%. Les fenêtres les plus performantes, quelque soit la configuration de l'instrument, sont les familles de fenêtres, à condition de choisir la valeur optimale pour leur paramètre. Cette valeur est différente selon le seuil choisi pour le calcul du SACR et la configuration de l'instrument.

Toutefois, alors que la fenêtre de MASS est optimale du point de vue du SACR pour une géométrie en Y, c'est la fenêtre de FILLER D  qui est la plus performante pour une configuration en U.

En conclusion, les caractéristiques des fenêtres d'apodisation changent avec la configuration du réseau interférométrique. Une géométrie en Y conduit à une meilleure résolution radiométrique alors qu'une géométrie en U permet d'atteindre une meilleure sensibilité radiométrique. J'ai aussi montré que les fenêtres les plus performantes du point de vue du SACR changent selon cette configuration. Selon ce critère et pour un seuil de 1%, dans le cas d'une configuration en U, la fenêtre de FILLER D calculée pour un paramètre $\alpha=0.06$ permet un compromis optimal entre la résolution spatiale et la sensibilité radiométrique.

Ces résultats ont été établis pour des fenêtres possédant une symétrie circulaire alors que les bandes passantes ont une anisotropie propre à la géométrie de l'instrument. Par la suite, j'ai donc modifié le calcul de la variable $\bar{\rho}$ afin de tenir compte de cette anisotropie et ainsi améliorer la sensibilité radiométrique des fenêtres.

Table 5.1: Fonctions d'apodisation traditionnelles définies dans l'intervalle  $\bar{\rho}\in [-1, 1]$ .

Rectangle	$1$
Bartlett	$1-\vert \bar{\rho}\vert$
Welch	$1-\bar{\rho}^2$
Lanczos	$$\frac{\sin\pi \bar{\rho}}{\pi \bar{\rho}}$$
Papoulis	$$\frac{1}{\pi}\sin\pi \vert \bar{\rho}\vert +(1-\vert \bar{\rho}\vert)\cos\pi \bar{\rho}$$
Parzen	$\biggl\lbrace\begin{array}{cl} \displaystyle 1-6\bar{\rho}^2(1-\vert \bar{\rho... ...2(1-\vert \bar{\rho}\vert)^3 & \vert \bar{\rho}\vert\geq 1/2 \end{array}\biggr.$
Connes	$(1-\bar{\rho}^2)^2$
Cosine	$$\cos\frac{\pi \bar{\rho}}{2}$$
Hanning	$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\pi \bar{\rho}$$
Hamming$^1$	$0.54 +0.46\cos\pi \bar{\rho}$
Hamming$^2$	$$\frac{25}{46}+\frac{21}{46}\cos\pi \bar{\rho}$$
Blackman$^1$	$0.42 +0.5\cos\pi \bar{\rho} +0.08\cos\pi \bar{\rho}$
Blackman$^2$	$$\frac{3969}{9304}+\frac{4620}{9304}\cos\pi \bar{\rho}+\frac{715}{9304}\cos\pi \bar{\rho}$$
Nutall$^3$	$0.42323 +0.49755\cos\pi \bar{\rho} +0.07922\cos 2\pi \bar{\rho}$
Nutall$^4$	$0.44959 +0.49364\cos\pi \bar{\rho} +0.05677\cos 2\pi \bar{\rho}$
Harris$^5$	$0.35875 +0.48829\cos\pi \bar{\rho} +0.14128\cos 2\pi \bar{\rho} +0.01168\cos 3\pi \bar{\rho}$
Harris$^6$	$0.40217 +0.49703\cos\pi \bar{\rho} +0.09892\cos 2\pi \bar{\rho} +0.00188\cos 3\pi \bar{\rho}$
Norton-Beer$^7$	$0.548 -0.0833(1-\bar{\rho}^2) +0.5353(1-\bar{\rho}^2)^2$
Norton-Beer$^8$	$0.26 -0.154838(1-\bar{\rho}^2) +0.894838(1-\bar{\rho}^2)^2$
Norton-Beer$^9$	$0.09 +0.5875(1-\bar{\rho}^2)^2 +0.3225(1-\bar{\rho}^2)^4$
Cauchy	$$\frac{1}{1+(\alpha \bar{\rho})^2}$$
Poisson	e$^{\displaystyle -\alpha \vert \bar{\rho}\vert}\,,\;\alpha\geq 0$
Gauss	e$^{\displaystyle -\alpha \bar{\rho}^2}\,,\;\alpha\geq 0$
Filler (D)	$$\frac{1}{1+\alpha} \Bigl( \cos\frac{\pi \bar{\rho}}{2}+\alpha\cos\frac{3\pi \bar{\rho}}{2} \Bigr)\,,\;\alpha\geq 0$$
Filler (E)	$$\frac{1}{2+2\alpha} \Bigl( 1+(1+\alpha)\cos\pi \bar{\rho}+\alpha\cos 2\pi \bar{\rho} \Bigr)\,,\;\alpha\geq 0$$
Tuckey	$\Biggl\lbrace\begin{array}{cl} < \displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos\pi\f... ... 1 & \vert \bar{\rho}\vert\leq \alpha \end{array}\Biggr. \,,\;1\geq\alpha\geq 0$
Kaiser	$$\frac{\mbox{I}_0(\alpha\sqrt{1-\bar{\rho}^2})}{\mbox{I}_0(\alpha)}\,,\;\alpha\geq 0$$
Van der Maas	$$\frac{\mbox{I}_1(\alpha\sqrt{1-\bar{\rho}^2})}{\mbox{I}_1(\alpha)\sqrt{1-\bar{\rho}^2}}\,,\;\alpha\geq 0$$

$^1$ approchée, $^2$ exacte, $^3$ 3-termes, $^4$ min 3-termes, $^5$ 4-termes, $^6$ min 4-termes, $^7$ forte, $^8$ medium, $^9$ faible.

Figure 5.9: Facteurs de mérite des fenêtres d'apodisation pour une configuration en Y. a), hauteur des lobes secondaires et b), efficacité à -3dB du lobe principal en fonction de la largeur à -3dB du lobe principal. Distance de plus courte approche pour, c), un seuil de 1%, c), un seuil de 0.1% en fonction de la largeur à -3dB du lobe principal.

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Figure 5.10: Facteurs de mérite des fenêtres d'apodisation pour une configuration en U. a), hauteur des lobes secondaires et b), efficacité à -3dB du lobe principal en fonction de la largeur à -3dB du lobe principal. Distance de plus courte approche pour, c), un seuil de 1%, c), un seuil de 0.5% en fonction de la largeur à -3dB du lobe principal.

Table: Facteurs de mérite des fonctions d'apodisation pour une configuration en Y.

	FWHM	HSLL	BEHM	SACR(1%)	SACR(0.1%)
	[ $\lambda/L_b$ ]	[dB]	[%]	[ $\lambda/L_b$ ]	[ $\lambda/L_b$ ]
Rectangle	0.517	-7.626	61.79
Bartlett	0.620	-10.524	75.77	3.161
Welch	0.587	-9.110	73.23	0.737	2.491
Lanczos	0.615	-9.898	75.09	0.526	1.624
Papoulis	0.746	-14.542	78.03	0.609	1.194
Parzen	0.786	-16.520	77.02	0.673	1.620
Connes	0.648	-10.684	77.73	0.581	1.198
Cosine	0.597	-9.377	74.17	0.536	2.184
Hanning	0.667	-11.339	77.17	0.431	0.957
Hamming$^1$	0.638	-10.663	76.16	0.425
Hamming$^2$	0.636	-10.609	76.31	0.424
Blackman$^1$	0.730	-13.940	77.06	0.577	0.709
Blackman$^2$	0.721	-13.644	77.75	0.575	0.706
Nutall$^3$	0.699	-12.779	77.29	0.542	0.666
Nutall$^4$	0.725	-13.796	77.40	0.578	0.710
Harris$^5$	0.749	-14.852	78.23	0.614	0.759
Harris$^6$	0.813	-18.304	77.50	0.698	0.878
Norton-Beer$^7$	0.639	-10.782	76.05	0.453
Norton-Beer$^8$	0.595	-9.535	74.21	0.352
Norton-Beer$^9$	0.552	-8.522	69.61	2.014
Cauchy 1.0	0.548	-8.459	68.92	1.219
1.53	0.578	-9.397	70.92	0.686
$\alpha=$ 3.0	0.653	-13.785	74.03	1.160
Poisson 1.0	0.559	-9.043	70.92
$\alpha=$ 3.0	0.673	-10.733	73.14
Gauss 1.0	0.559	-8.656	71.13	1.052
1.22	0.582	-9.582	72.22	0.316
1.84	0.670	-11.985	76.40	0.555	0.749
$\alpha=$ 2.5	0.804	-19.505	76.81	0.752	0.994
Filler (D) 0.0	0.597	-9.377	74.17	0.536	2.184
0.06	0.613	-9.919	75.21	0.355	1.651
0.27	0.695	-12.533	77.68	0.518	0.608
$\alpha=$ 0.3	0.711	-13.036	77.96	0.530	0.804
Filler (E) 0.0	0.667	-11.339	77.17	0.431	0.957
0.09	0.694	-12.442	77.97	0.508	0.593
$\alpha=$ 0.3	0.778	-15.852	77.82	0.623	0.736
Kaiser 1.0	0.527	-7.844	64.16	3.174
3.47	0.592	-9.388	74.39	0.322
6.01	0.661	-11.393	77.47	0.464	0.539
$\alpha=$ 13.0	0.839	-20.270	76.99	0.731	0.925
Van der Maas 1.0	0.522	-7.739	63.68	4.301
4.16	0.585	-9.244	73.38	0.311
6.43	0.644	-10.913	76.76	0.444	0.521
$\alpha=$ 13.0	0.812	-18.416	77.47	0.703	0.888

$^1$ approchée, $^2$ exacte, $^3$ 3-termes, $^4$ min 3-termes, $^5$ 4-termes, $^6$ min 4-termes, $^7$ forte, $^8$ medium, $^9$ faible.

Table 5.3: Facteurs de mérite des fonctions d'apodisation pour une configuration en U.

	FWHM	HSLL	BEHM	SACR(1%)	SACR(0.5%)
	[ $\lambda/L_b$ ]	[dB]	[%]	[ $\lambda/L_b$ ]	[ $\lambda/L_b$ ]
Rectangle	0.629	-6.604	65.80
Bartlett	0.754	-11.126	77.63
Welch	0.716	-9.138	76.72
Lanczos	0.750	-10.443	77.43	1.629
Papoulis	0.924	-19.388	77.82	0.761	0.839
Parzen	0.977	-22.101	77.09	0.852	0.952
Connes	0.793	-11.894	78.25	1.146
Cosine	0.728	-9.577	76.73
Hanning	0.819	-13.087	78.41	0.792	1.641
Hamming$^1$	0.776	-11.947	78.11	1.117
Hamming$^2$	0.772	-11.853	78.02	1.129
Blackman$^1$	0.900	-18.411	77.75	0.713	0.766
Blackman$^2$	0.888	-17.759	77.39	0.704	0.757
Nutall$^3$	0.857	-16.566	77.74	0.652	0.694
Nutall$^4$	0.893	-18.029	77.61	0.711	0.765
Harris$^5$	0.926	-19.380	77.29	0.765	0.833
Harris$^6$	1.015	-22.875	76.90	0.887	0.975
Norton-Beer$^7$	0.775	-12.148	78.05	1.082
Norton-Beer$^8$	0.718	-9.768	76.65
Norton-Beer$^9$	0.667	-7.926	72.59
Cauchy 0.5	0.640	-6.947	68.23
$\alpha=$ 6.0	0.939	-8.287	62.34
Poisson 0.5	0.652	-7.429	69.89
$\alpha=$ 5.0	1.023	-15.129	66.28
Gauss 0.5	0.641	-6.977	68.32
1.68	0.781	-12.604	77.64	0.554
2.02	0.860	-16.019	77.29	0.724	0.816
$\alpha=$ 3.0	1.177	-27.822	75.20	1.155	1.278
Filler (D) 0.0	0.728	-9.577	76.73
0.16	0.786	-12.376	78.07	0.533
0.25	0.839	-15.127	78.02	0.613	0.644
$\alpha=$ 0.3	0.877	-16.980	78.20	0.651	0.687
Filler (E) 0.0	0.819	-13.09	78.41	0.792	1.641
0.03	0.829	-13.766	78.10	0.561	1.574
0.09	0.852	-15.394	78.22	0.620	0.651
$\alpha=$ 0.3	0.970	-22.454	77.60	0.786	0.844
Tuckey 0.0	0.819	-13.087	78.41	0.792	1.641
$\alpha=$ 0.9	0.638	-6.689	67.03
Kaiser 0.5	0.632	-6.6.692	66.57
5.69	0.796	-12.743	77.87	0.537
6.99	0.842	-15.227	78.06	0.615	0.646
$\alpha=$ 13.0	1.051	-24.878	76.59	0.932	1.024
Van der Maas 0.5	0.630	-6.648	65.969
6.56	0.789	-12.522	77.82	0.533
8.08	0.842	-15.457	77.99	0.624	0.657
$\alpha=$ 13.0	1.014	-23.256	76.888	0.894	0.984

$^1$ approchée, $^2$ exacte, $^3$ 3-termes, $^4$ min 3-termes, $^5$ 4-termes, $^6$ min 4-termes, $^7$ forte, $^8$ medium, $^9$ faible.