Subsections

• 5.3.1 Dépendance angulaire du paramètre $\rho_{max}$
• 5.3.2 Dépendance radiale et angulaire du paramètre $\rho_{max}$

5.3 Adaptation de la forme des fenêtres à la forme de la bande passante

Jusqu'à présent, les fenêtres d'apodisation sont des fonctions bidimensionnelles de la variable radiale $\bar{\rho} = \rho/\rho_{max}$ , où $\rho$ est la distance $\sqrt{u^2+v^2}$ mesurée depuis la fréquence nulle à l'intérieur de la bande passante, et où $\rho_{max}$ est égal à la plus grande de ces distances. Ainsi, il subsiste des valeurs non nulles aux bords de la bande passante dans le domaine de Fourier, autour des creux de l'étoile pour une configuration en Y ou au centre des cotés du rectangle pour une configuration en U. Ces valeurs non nulles vont se traduire par une plus grande amplitude des oscillations de Gibbs dans le domaine spatial. En modifiant l'expression de $\rho_{max}$ , il est possible d'adapter la forme des fenêtres à la forme des bandes passantes et ainsi de réduire les valeurs non nulles subsistant sur leurs bords, diminuant au final l'amplitude des oscillations de Gibbs BPApod.

5.3.1 Dépendance angulaire du paramètre $\rho_{max}$

L'introduction d'une dépendance angulaire dans le calcul de $\rho_{max}$ permet d'adapter complètement la forme de la fenêtre à la forme de la bande passante (voir Fig. 5.11-a,-c). Il est pour cela nécessaire de calculer, pour chaque point $(u,v)$ de la bande passante, la longueur $\rho_{H,R}(\theta )$ du segment joignant la fréquence nulle, la fréquence $(u,v)$ le bord de $H$ . Cette longueur est paramétrée par l'angle $\theta$ mesuré depuis l'axe liant la fréquence nulle à la fréquence la plus grande de la bande passante (une pointe de l'étoile ou un sommet du rectangle). Etant données les symétries des bandes passante, pour une configuration en Y, $\theta$ varie dans l'intervalle $[0^\circ ~30^\circ ]$ et $\rho_H(\theta )$ s'exprime ainsi :

$$\rho_H(\theta ) = \frac{\sqrt{3} L}{\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta }$$ (5.1)

Pour une configuration en U, $\theta$ varie dans l'intervalle $[0~\arctan \frac{\displaystyle L}{\displaystyle L-1}]$ et $\rho_R(\theta )$ s'exprime ainsi :

$$\rho_R(\theta ) = \frac{L-1}{\cos \theta }$$ (5.2)

$$\textrm{avec}~\theta \in [0^\circ ~\left(\arctan \frac{\displaystyle L}{\displaystyle L-1}\right)\pi/180~^\circ ]$$

Il est alors possible de circonscrire l'adaptation de la forme de la fenêtre à la forme de la bande passante à l'intérieur d'une région donnée, délimitée par la valeur d'un angle limite $\theta _{lim}$ (voir Fig. 5.11-b,-d). Ainsi, pour chaque point de la bande passante, la distance $\rho_{max}$ est paramétrée par l'angle $\theta$ correspondant :

$$\begin{tabular}{l l l} $\rho_{max}(\theta ) = \rho_{H,R}(\theta )... ... ) = \rho_{H,R}(\theta _{lim})$\ & pour & $\theta >\theta _{lim}$ \end{tabular}$$ (5.3)

Lorsque $\theta _{lim}$ est nul, on retrouve le cas d'une symétrie circulaire avec $\rho_{max}$ constant. Lorsque $\theta _{lim} = 30^\circ$ ou $\theta _{lim} = \arctan \frac{\displaystyle L}{\displaystyle L-1}$ , la forme de la fenêtre d'apodisation colle parfaitement à la forme en étoile de la bande passante.

Figure 5.11: Adaptation de la forme des fenêtres à la forme de la bande passante : dépendance angulaire du paramètre $\rho_{max}$ . a) et b), adaptation parfaite à la forme de la bande passante, $\theta _{lim} = 30^\circ$ . c) et d), adaptation partielle : dans la zone I, la forme de la fenêtre épouse la forme de la bande passante ( $\rho_{max} = \rho_{max}(\theta )$ ), dans la zone II, la fenêtre est à symétrie circulaire ( $\rho_{max} = cste = \rho_(\theta _{lim})$ )

L'adaptation progressive de la forme de la fenêtre à la forme de la bande passante, $\theta _{lim}$ variant de 0 à sa valeur maximale, a pour conséquence de faire apparaître un angle optimal pour lequel la hauteur des lobes secondaires est inférieure à celle calculée dans le cas de référence ( $\theta _{lim}=0$ , pas de déformation). Cet angle optimal $\theta _{opt}$ , pour une fenêtre de BLACKMAN, vaut 6.5$^\circ$ pour l'étoile et 10.9$^\circ$ pour la bande passante rectangulaire (voir Fig. 5.12-a,-d).

La valeur des lobes secondaires pour une fenêtre donnée est conditionnée par de multiples caractéristiques dont les valeurs qu'elle prend au bord de la bande passante, bien entendu, mais aussi l'allure de la décroissance depuis la fréquence nulle. Il est donc difficile de prévoir la valeur de cet angle optimal, qui est différent pour chacune des fenêtre, mais l'on peut avancer quelques hypothèse pour expliquer son existence.

La décroissance de la hauteur des lobes est due à une diminution de la valeur de la fenêtre au bord de la bande passante dans la zone I. Cependant, l'adaptation de forme fait aussi apparaître un angle aigu le long de l'axe de symétrie orienté vers la pointe de l'étoile ( $\theta =30^\circ$ ): cette arête va augmenter la hauteur des lobes secondaires au delà même de la valeur initiale. Pour les faibles valeurs de $\theta _{lim}$ , la diminution des valeurs au bord de la bande passante dans la zone I l'emporte sur l'apparition cette arête dans la zone II, l'effet s'inversant par la suite, d'où l'existence d'un angle optimal.

Figure 5.12: Variation des facteurs de mérite de la fenêtre BLACKMAN approchée en fonction de l'angle limite $\theta _{lim}$ , à gauche, pour une configuration en Y, à droite, pour une configuration en U. L'adaptation de forme permet de diminuer la hauteur des lobes pour un angle limite $\theta _{lim} = 11.1^\circ$ pour une géométrie en U et $\theta _{lim} = 6.5^\circ$ pour une géométrie en Y.

Cependant, la largeur à mi-hauteur du lobe principal, elle, augmente continûment avec $\theta _{lim}$ (voir Fig. 5.12-b,-e). Le calcul du SACR permet de plus de montrer que la diminution de la hauteur des lobes secondaires ne compense pas cette dégradation de la résolution spatiale, puisque quelque soit quelque soit $\theta _{lim}$ , le SACR est supérieur au cas initial (voir Fig. 5.12-c,-f).

5.3.2 Dépendance radiale et angulaire du paramètre $\rho_{max}$

Puisque la zone sensible du point de vue de la hauteur des lobes secondaires est liée à la présence d'un angle aigu le long de l'axe de symétrie dirigé vers la pointe de l'étoile, il a été envisagé d'introduire une dépendance radiale dans le calcul de $\rho_{max}$ , en plus de la dépendance angulaire. Ainsi, il sera possible de restreindre l'adaptation de forme de la fenêtre aux fréquences situées à une distance $\rho$ au delà d'un rayon limite $\rho_{lim}$ (voir Fig. 5.13). Pour chaque point de la bande passante, la distance $\rho_{max}$ est paramétrée par l'angle $\theta$ et la distance $\rho$ correspondant :

$$\begin{tabular}{l l l} $\rho_{max}(\theta ,\rho) = \rho_{H,R}\lef... ...\ & pour & $\theta >\theta _{lim}$\ ou $\rho\leqslant \rho_{lim}$ \end{tabular}$$ (5.4)

Les contraintes de continuité à la frontière entre la zone d'adaptation de forme et la zone à symétrie radiale adoucissent alors la variation autour de l'angle $\theta =30^\circ$ . Pour $\theta _{lim}=0$ et $\rho_{lim}=0$ , on retrouve le cas initiale d'un fenêtre à symétrie circulaire, de même que pour $\rho_{lim}$ égal à la fréquence maximale de la bande passante. A partir de cette limite supérieure pour $\rho_{lim}$ , l'intérêt de l'adaptation de forme disparaît puisque le signal mesuré aux hautes fréquences de la bande passante est alors complètement atténué par la fenêtre.

Figure 5.13: Adaptation de la forme des fenêtres à la forme de la bande passante : dépendance angulaire et radiale du paramètre $\rho_{max}$ . Dans la zone I, la forme de la fenêtre épouse la forme de la bande passante ( $\rho_{max} = \rho_{max}(\theta ,\rho)$ ), dans la zone II, la fenêtre est à symétrie circulaire ( $\rho_{max} = cste = \rho_{H,R}(\theta _{lim})$ )

L'introduction de la distance limite $\rho_{lim}$ permet effectivement de diminuer la hauteur des lobes secondaires, comparée à la valeur obtenue pour $\rho_{lim}=0$ . Cependant, là encore, cette diminution s'accompagne d'un élargissement du lobe principal.

En configuration U, le gain sur le HSLL ne compense pas la perte sur le FWHM, même si la distance de plus courte approche diminue avec $\rho_{lim}$ croissant, elle reste supérieure au cas initial 5.14.

En configuration Y, cela reste vrai pour les fenêtres simples , ne dépendant pas d'un paramètre, mais on observe une légère amélioration du SACR pour les familles de fenêtres et notamment pour KAISER et MASS. <

Figure 5.14: Variation des facteurs de mérite de la fenêtre BLACKMAN approchée en fonction de l'angle limite $\theta _{lim}$ et de la distance $\rho_{lim}$ , à gauche, pour une configuration en Y, à droite, pour une configuration en U. L'introduction d'une distance limite $\rho_{lim}$ , en deçà de laquelle la symétrie circulaire de la forme de la fenêtre est conservée, permet de diminuer la hauteur des lobes secondaires (-4 dB pour $\theta _{lim}=10.7^\circ$ et $\rho_{lim}=2$ , (U)). Cependant le SACR reste supérieur au cas initial, la diminution de la hauteur des lobes secondaires ne compensant pas l'élargissement du lobe principal.

Dans ce cas, il existe un couple $(\theta_{lim},\rho_{lim})$ pour lequel la distance de plus courte approche est inférieure à la valeur initiale (voir Fig. ).

Là encore, il est difficile de trouver une seule explication à la présence de ce minimum. On peut toutefois remarquer que les familles de fenêtres FILLER, KAISER et MAAS, de part la présence d'un paramètre $\alpha$ modifiant finement l'allure de la décroissance entre la fréquence nulle et le bord de la bande passante, sont déjà les familles les plus performante du point de vue du SACR. La combinaison de l'action de $\alpha$ et de l'introduction d'une dépendance angulaire et radiale sur $\rho_{max}$ , autorise une souplesse dans la déformation de de ces fenêtres que n'ont pas les fenêtres simple , et permet de diminuer la hauteur des lobes secondaires tout en maintenant la dégradation de la largeur du lobe principal sous contrôle.

Le tableau 5.4 donne pour KAISER et MAAS, le triplet $(\alpha,\theta _{lim},\rho{lim}$ et la valeur améliorée correspondante pour le SACR 1%, constituant les meilleurs performances pour l'ensemble des fenêtres.

Table 5.4: Paramètres optimaux ( $\alpha,\theta _{lim},\rho_{lim}$ ) conduisant à une amélioration du SACR pour les fenêtres KAISER et MAAS.

Fenêtre	Paramètre	$\theta _{lim}$	$\rho_{lim}$	SACR (1%) [ $\lambda/L_b$ ]
KAISER	$\mathbf{\alpha=3.9}$	1.5	20	0.294
MAAS	$\mathbf{\alpha=4.6}$	1.3	25	0.300

Figure 5.15: Variation du SACR (1%) pour les fenêtres de a) KAISER et b) MAAS en fonction de l'angle limite $\theta _{lim}$ et de la distance limite $\rho_{lim}$ .

En conclusion, le bilan de ce travail sur l'adaptation de la forme de la fenêtre est partagé. Si la déformation des fenêtres permet effectivement d'améliorer la hauteur des lobes secondaires, et par là même la sensibilité radiométrique, la largeur du lobe principal est augmentée, dégradant la résolution spatiale. Toutefois, pour une configuration en Y, il existe un triplet ( $\alpha,\theta _{lim},\rho_{lim}$ ) pour lequel le SACR est légèrement amélioré. Sans doute le principal avantage de cette paramétrisation des fenêtres d'apodisation est-il de donner la possibilité de faire varier finement le compromis entre hauteur des lobes secondaires et largeur du lobe principal, permettant ainsi à un utilisateur de trouver l'adaptation de forme qui lui convient compte tenu de ses objectifs et des contraintes sur l'estimation des paramètres géophysiques.

Biographie(s)

GIBBS, Josiah Willard
(11 Février 1839, New Haven, Etats-Unis - 28 Avril 1903, New Haven, Etats-Unis)

Gibbs a passé la quasi totalité de sa vie dans la maison de ses parents à New Haven, à deux pas du collège où il avait débuté ses études et de l'université de Yale où il travailla jusqu'à la fin de sa vie.
En 1863, il soutient la première thèse d'ingénierie des Etats-Unis, dont le sujet porte sur des méthodes géométriques pour la fabrication des engrenages.
Après 3 ans passé en Europe, à Paris, Berlin et Heidelberg, où il est influencé par Kirchhoff et Helmholtz, il retourne à Yale en 1869 et obtient un poste de professeur de mathématiques appliquées à la physique en 1871. En 1873, il publie Méthodes graphiques en thermodynamique des fluides et Une méthode de représentation géométrique des propriétés thermodynamiques des substances par l'utilisation des aires. En 1876 et 1878, il publie les deux tomes de l'ouvrage qui le rendra célèbre Sur l'équilibre des substances hétérogènes. A travers ces trois publications, il définit un ensemble de méthodes simples qui vont révolutionner l'étude des procédés thermodynamiques et l'étude des moteurs à vapeur.
A partir de 1901, il travaille à l'analyse vectorielle qu'il applique à l'étude de l'orbite des comètes. Il étudie aussi la théorie électromagnétique de la lumière et, par ses travaux en mécanique statistique, pose les bases mathématiques de la mécanique quantique et des théories de Maxwell. [bibli]