6.3 Application du multi-fenêtrage à un instrument de type MIRAS

La famille de fenêtre de KAISER Kaiser a été sélectionnée pour être à la base de la construction des fenêtres qui seront appliquées à chaque pixel du champ reconstruit :

$$\widehat {W}(u,v) = \frac{I_0 \left(\alpha \sqrt{1-\bar{\rho}^2} \right)}{I_0(\alpha)}$$ (6.30)

où $I_0$ est la fonction de BESSEL modifiée d'ordre 0, $\bar{\rho} = \rho/\rho_{max}$ et $\alpha$ est un réel positif (pour $\alpha = 0$ , on obtient une fenêtre rectangle). La valeur de ce paramètre modifie la décroissance de la fenêtre $\widehat {W}(u,v)$ depuis la fréquence nulle jusqu'au bord de la bande passante, modifiant ainsi les caractéristiques de $W(\xi,\eta)$ dans le repère des antennes. Pour un pixel $(\xi,\eta)$ et un paramètre $\alpha$ donné, la fonction de transfert est à symétrie circulaire dans le repère des cosinus directeurs et elliptique le repère terrestre (voir Fig. 6.10).

Figure 6.10: La fenêtre de KAISER pour deux valeurs du paramètre $\alpha$ . A gauche, la fenêtre a une symétrie circulaire dans le domaine de FOURIER mais, à droite, une symétrie elliptique dans le domaine spatial (l'ellipse trace le contour à -3dB).

L'idée sous-jacente au multi-fenêtrage est d'appliquer une fenêtre d'apodisation propre à chaque pixel $(\xi,\eta)$ (sur une grille régulière dans le repère terrestre) pour obtenir une résolution isotrope dans le champ reconstruit projeté sur Terre.

$$T_w(\xi,\eta) = \sum_{u,v} \sum_{\in H,R} \widehat {W}_{\xi,\eta}(u,v) ^{+2j\pi(u\xi+v\eta)}$$ (6.31)

Le paramètre $\alpha$ contrôlant la forme de la fenêtre, il lui est ajouté une dépendance angulaire à l'intérieur de la bande passante, de façon à rendre la fenêtre elliptique dans le repère des cosinus directeurs, et donc, avec la bonne inclinaison et la bonne ellipticité, à symétrie circulaire dans le repère terrestre. Pour un pixel donné $(\xi,\eta)$ et pour chaque point $(u,v)$ de la bande passante, le paramètre $\alpha$ est calculé à partir d'une simple relation linéaire :

$$\alpha = \alpha(u,v) = \alpha_1 +(\alpha_2-\alpha_1)\frac{\varphi-\varphi_1}{\varphi_2-\varphi_1}$$ (6.32)

où $\tan \varphi = v/u$ et $\varphi_1$ ,  $\varphi_2=\varphi_1+\pi/2$ , $\alpha_1$ et $\alpha_2$ définis comme sur la figure 6.11. Cette relation a été élaborée de façon à faire varier $\alpha$ linéairement entre $\alpha_1$ et $\alpha_2$ pour $\varphi \in [\varphi_1$  $\varphi_2$ ] et à conserver la symétrie de la fenêtre $\widehat {W}(u,v)$ . La figure 6.12 montre que les valeurs de ces 3 paramètres ($\varphi_2$ est lié à $\varphi_1$ ) contrôlent bien l'ellipticité de la fenêtre dans le domaine de FOURIER et donc dans le domaine spatial.

Figure 6.11: Paramétrisation linéaire du paramètre $\alpha$ de la famille de fenêtre KAISER.

Figure 6.12: Illustration de la déformation de la fenêtre de KAISER par la paramétrisation de $\alpha$ . La dépendance en $\alpha1$ , $\alpha2$ , $\varphi_1$ et $\varphi_2$ permet d'imprimer une symétrie elliptique à la fenêtre dans le domaine de FOURIER et modifier ainsi sa symétrie dans le domaine spatial.

Reste à trouver les paramètres $\alpha_1,\alpha_2,\varphi_1$ pour lesquels la fenêtre est à symétrie circulaire sur la Terre. Pour une résolution donnée $D$ , après initialisation, un algorithme d'ajustement des paramètres d'une ellipse fournit l'inclinaison $\Psi$ et l'ellipticité $a/b$ de la fonction de transfert à -3dB dans le repère terrestre ellipse. Une méthode d'optimisation non linéaire de type BFGS nous permet de minimiser le critère :

$$\min \left\{F=(D-a)^2+(D-b)^2 \right\},$$ (6.33)

et ainsi de trouver les paramètres $\alpha_1$ , $\alpha_2$  et $\varphi_1$ qui conduisent une résolution isotrope pour $a=b=D$ , $\Psi$ n'étant pas défini pour un cercle.

Bien entendu, la résolution $D$ imposée ne peut être atteinte dans l'ensemble du champ de vue reconstruit. La figure 6.15 montre comment le multi-fenêtrage a été appliqué à la scène présentée sur la figure 6.14 pour une résolution $D=55~\textrm{km}$ . L'effet est particulièrement probant le long des côtes britanniques, la zone de transition entre les terres et la mer s'élargissant nettement lorsque l'on s'éloigne du point sub-satellite avec une apodisation classique, alors qu'elle est constante avec le multi-fenêtrage. La contrepartie est double : la résolution est dégradée au centre du champ de vue reconstruit et la fauchée ainsi que la gamme des angles d'incidence disponible sont réduites. Plus $D$ est petit, plus le champ reconstruit se réduit, comme l'illustre le tableau 6.1 résumant les caractéristique du champ reconstruit pour les différentes résolutions testées.

Table 1: Fauchée et gamme des angles d'incidences.

résolution isotrope au sol	fauchée	gamme d'angle d'incidences
55 km	1300 km	$0^\circ$ /$55^\circ$
44 km	1100 km	$0^\circ$ /$50^\circ$
33 km	850 km	$0^\circ$ /$40^\circ$

Les valeurs optimisées des paramètres $\alpha_1$ , $\alpha_2$  et $\varphi_1$ sont montrées sur la figure . Les faibles valeurs atteintes par $\alpha_2$ dans certaines zones conduisent à des amplitudes des oscillations de GIBBS importantes. La hauteur des lobes secondaires est alors proche de celle d'une fenêtre rectangle. Les valeurs des deux facteurs de mérite (HSLL et BEHM) de la figure sont à comparer avec celles de la fenêtre de BLACKMAN : HSLL = -13.6 dB et BEHM = 98.7%.

Figure 6.13: (De gauche à droite), paramètres $\alpha_1$ , $\alpha_2$  et $\varphi_1$ optimisés pour une résolution isotrope D=55km dans le repère terrestre.

Figure 6.14: Projection de la carte de température reconstruite et apodisée par la fenêtre de KAISER($\alpha=9$ ) dans le repère terrestre. L'utilisation d'une seule fenêtre pour l'ensemble des pixels conduit à une dégradation de la résolution spatiale au fur et à mesure que l'on se rapproche du bord du champ de vue : de 25 km sur la côte sud de l'Angleterre, elle passe à 100 km au nord de l'Ecosse.

Figure 6.15: Application du multi-fenêtrage sur la scène reconstruite : chaque pixel est apodisé par une fenêtre de KAISER dont les paramètres ont été ajustés de façon à obtenir une résolution spatiale isotrope de 55 km. Notons que cette technique à pour conséquence de réduire le champ de vue exploitable.

Figure 6.16: A Gauche, hauteur des lobes secondaires en dB et, à droite, efficacité du lobe principal en % dans le repère terrestre pour une résolution isotrope D=55km.

Les effets de ces lobes secondaires sur la qualité de l'estimation des paramètres géophysiques ont été étudiés à travers l'étude du comportement de la variable centrée $\zeta = (SM-SM_0)/\sigma_{SM}$ , $SM_0$ étant la valeur réelle de l'humidité du sol, SM la valeur estimée et $\sigma_{SM}$ l'incertitude sur cette estimation. $\zeta$ doit suivre une loi gaussienne, avec une valeur moyenne $<\zeta> = 0$ et une déviation standard $\sigma_\zeta = 1$ . Une valeur non nulle pour $<\zeta>$ traduit un biais sur l'estimation de l'humidité tandis qu'une déviation standard plus grande que 1 conduit à des valeurs estimées peu fiables, ce qui traduit sans doute une sous-estimation.

Les statistiques reportées dans le tableau 6.2 sont celles de la variable centrée $\zeta$  pour l'Europe de l'Ouest calculée lorsque sont appliqués une fenêtre de BLACKMAN ou le multi-fenêtrage, en choisissant la fonction de pondération exacte, dépendant de l'angle d'incidence, ou au contraire une fonction de pondération moyenne. Chaque pixel contenant une fraction pondérée de couvert végétal supérieure à 20% est retenu.

Alors qu'il est normalement possible de choisir la fonction de pondération exacte pour chaque pixel lors de l'estimation de l'humidité, il est plus simple de supposer cette fonction identique dans tout le champ reconstruit. Cependant, dans ce cas, les lobes secondaires viennent dégrader les résultats lorsque le multi-fenêtrage est utilisé. Les performances restent toutefois meilleures pour le multi-fenêtrage que pour une apodisation classique lorsque une fonction de pondération moyenne est appliquée.

Table 6.2: Statistiques sur la variable centrée $\zeta$ .

Fenêtre appliquée	Fonction de pondération	$<\zeta>$	$\sigma_\zeta$
BLACKMAN	moyenne	+0.66	1.84
BLACKMAN	réelle	-0.04	0.99
Multi-fenêtrage	moyenne	+0.17	1.45
Multi-fenêtrage	réelle	-0.09	1.05

Biographie(s)

BESSEL, Friedrich Wilhelm
(22 Juillet 1784, Minden, Westphalie - 17 Mars 1846, Konigsberg, Prusse)

Bessel ne s'est tourné vers les sciences que relativement tard. Agé de 14 ans, il quitte l'école pour devenir apprenti dans une société commerciale d'import-export à Bremen.
Alors qu'il ne touche aucun salaire, les activités et les partenariat de cette société le pousse à étudier en parallèle la géographie, l'espagnol et l'anglais. Il s'oriente alors vers les problèmes de navigation liés au positionnement des navires en pleine mer. Finalement, cette démarche le pousse vers les mathématiques et l'astronomie.
En 1804, il écrit un mémoire sur ses calculs de l'orbite de la comète de Halley effectués à partir de mesures réalisées par Harriot en 1607. Heinrich Olbers, à qui il envoie ce papier, reconnaît là un talent particulier et le pousse à continuer dans cette voie. En 1806, il abandonne une vie financièrement stable pour devenir assistant à l'observatoire de Lilienthal. Continuant ses recherches sur la position des étoiles, il devient directeur du nouvel observatoire de Konigsberf, encore en construction, en 1810. Sous la recommandation de Gauss, il reçoit le titre de docteur de l'université de Gottingen, ce qui lui permet de devenir officiellement professeur en astronomie et d'enseigner.
Bessel a été l'un des premiers astronome à reconnaître l'importance de l'estimation des erreurs de mesures dans la détermination de la position des astres. Il réduit les données de Bradley sur la position de quelques milliers d'étoile, déduisant les erreurs instrumentales causées par la réfraction, éliminant les effets du déplacement de la Terre.
Il introduit la fonction de Bessel dès 1817 lors d'une étude du problème à 3 corps de Kepler. En 1824, Il publie un traité sur la perturbation des orbites des planètes dans lequel il complète l'analyse de ces fonctions.
En 1830, il publie la position moyenne et apparente de 38 étoiles sur la période 1750-1850. En 1841, il déduit de la variation périodique des trajectoires de Sirius et Procyon la présence de système doubles, 21 ans avant leur observation.