Contenu

• 6.2.1 Depuis une grille cartésienne
• 6.2.2 Depuis une grille hexagonale
• 6.2.3 Propriété de translation du rééchantillonnage de FOURIER.

6.2 Rééchantillonnage des champs reconstruits

Comme il est démontré dans le paragraphe précédent, la grille d'échantillonnage des cartes de températures de brillances n'est pas régulière dans le repère terrestre. Il est toutefois possible, sous certaines conditions, d'obtenir la valeur de la température de brillance en tout point $(\xi,\eta)$ ne coïncidant pas avec les noeuds de la grille d'échantillonnage $\mathbb{G}_\xi$ et donc de ré-échantillonner la carte de température de brillance dans le repère terrestre sur une grille régulière, et ce, sans perte d'information ni déformation.

Pour cela, seront considérées dans ce paragraphe des cartes de températures à bande passante limitée, soit que la méthode de reconstruction conduise directement à ce cas particulier, soit que ces cartes aient été apodisées.

Nous allons rappeler ici les expressions des fonctions de ré-échantillonnage, dites aussi d'interpolation, selon que les données sont initialement échantillonnées sur une grille cartésienne ou hexagonale.

6.2.1 Depuis une grille cartésienne

Considérons l'image $T(k\delta x,\l\delta x)$ , échantillonnée sur une grille cartésienne régulière à maille carrée avec $k=0,1,\ldots(N-1)$ , $l=0,1,\ldots(N-1)$ et $\delta x$ le pas d'échantillonnage. La valeur de $T$ au point $(\xi',\eta')$ est liée à la transformée de FOURIER continue $\widehat {T}(u,v)$ de $T$ :

$$T(\xi',\eta') = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \int \limits_{-\infty}^{+\infty} \widehat {T}(u,v) ^{2j\pi(u\xi'+v\xi')} du dv$$ (6.22)

Si le critère de SHANNON est respecté, les composantes de FOURIER de $T$ sont non nulles uniquement pour $\vert u \vert \leqslant 1/(2\delta x)$ et $\vert v \vert \leqslant 1/(2\delta x)$ . Dans ce cas, le spectre $\widehat {T}(u,v)$ du signal continu est lié au spectre $\widehat {T}_d(u,v)$ du signal discret par $\widehat {T}(u,v) = (\delta x)^2\widehat {T}_d(u,v)$ . La relation précédente devient alors :

$$T(\xi',\eta') = \int \limits_{-1/(2\delta x)}^{+1/(2\delta x)} \int \limits_{-1/(2\delta x)}^{+1/(2\delta x)} (\delta x)^2 \widehat {T}_d(u,v) ^{2j\pi(u\xi'+v\xi')} du dv$$ (6.23)

Or, le spectre discret $\widehat {T}_d(u,v)$ est lié par une transformée de FOURIER discrète à $T(k\delta x,\l\delta x)$ :

$$T(\xi',\eta') \!\!\! = (\delta x)^2 \!\!\!\!\!\!\!\!\! \int \limits_{-1/(2\delta x)}^{+1... ...x{e}^{-2j\pi(uk\delta x+vl\delta x)}\right) \mbox{e}^{2j\pi(u\xi'+v\xi')} du dv$$ (6.24)

$$T(\xi',\eta') \!\!\! = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{N-1} T(k \delta x,l\delta x) \left( ... ...ta x)}^{+1/(2\delta x)} \delta x \mbox{e}^{2j\pi v(\eta'-l\delta x)} dv \right)$$ (6.25)

$$T(\xi',\eta') \!\!\! = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{N-1} T(k \delta x,l\delta x) \textrm... ...lta x}{\delta x}) \textrm{sinc}(\frac{\displaystyle \eta'-l\delta x}{\delta x})$$ (6.26)

Cette dernière relation généralise simplement la fonction d'interpolation de SHANNON dans un cas à deux dimensions :

$$e_o(x_1,x_2) = \textrm{sinc}(x_1/\delta x) \textrm{sinc}(x_2/\delta x)$$ (6.27)

avec $x_1 = (\xi'-k\delta x)$ et $x_2 = (\eta'-l\delta x)$ .

6.2.2 Depuis une grille hexagonale

La relation est considérablement compliquée dans le cas d'un maillage hexagonal. Anterrieu et al.EricApod ont établi la fonction d'interpolation dans ce cas :

$$e_{\mathbf{0}}(x_1,x_2) = \frac{1}{6} \Biggl( \frac{\displaystyle... ...sqrt{3}\,x_2}{3\,\delta x}} \,\mbox{sinc} \frac{x_1+\sqrt{3}\,x_2}{3\,\delta x}$$

$$+ 4\, \frac{2x_1}{3\,\delta x} \, \frac{2\sqrt{3}\,x_2}{3\,\delta x} \Biggr)$$ (6.28)

avec $x_1 = (\xi'-k\sqrt{3}\delta x/2)$ et $x_2 = (\eta'-l\delta x)$ .

6.2.3 Propriété de translation du rééchantillonnage de FOURIER.

Dans le cas de cartes de températures de brillance à bande passante limitée, l'interpolation en point donnée $(\xi',\eta')$ peut être effectuée à l'aide d'une simple transformée de FOURIER discrète inverse du spectre $\widehat {T}(u,v)$ (obtenu par exemple par une FFT de l'image initiale) :

$$T(\xi',\eta') = \sum_{u,v \in} \sum_{H,R} \{\mathbf{U}T(\xi,\eta)\} ^{2j\pi(u\xi'+v\eta')}$$ (6.29)

où $\mathbf{U}$ est l'opérateur de transformée de FOURIER.

De plus, d'après la propriété de translation de la transformée de FOURIER, les composantes de FOURIER de $T(\xi+\xi',\eta+\eta')$ sont égales à $\widehat {T}(u,v)\exp \left[-2j\pi(u\xi'+v\eta') \right]$ . La méthode d'interpolation ou de rééchantillonnage employée devrait alors être indépendante de toute translation. Or, la figure 6.9 montre que, si l'interpolation de SHANNON est bien indépendante de la translation, une interpolation bilinéaire, telle qu'utilisée par Camps et al. CampsHexa1 ne l'est clairement pas, l'image rééchantillonnée faisant apparaître des artefacts dus à l'échantillonnage hexagonal de l'image initiale.

Figure 6.9: Propriété de translation de deux méthodes d'interpolation, cas d'un maillage hexagonal avec N=256 pixels. En haut : même lorsque la carte n'est pas translatée (à gauche), l'interpolation de FOURIER (au centre) et une interpolation bilinéaire (à droite) ne conduisent pas au même résultat, ici rééchantillonné sur une grille cartésienne. Ce dernier comprend des artefacts dû au maillage hexagonal initial, que l'on ne retrouve pas dans le premier cas. En bas, lorsque la carte est translatée vers un point $(\xi',\eta')$ n'appartenant pas au maillage initial (à gauche), le résultat est clairement la translation du cas précédent pour l'interpolation de FOURIER (au centre), ce qui n'est pas le cas pour l'interpolation bilinéaire (à droite).